안녕하세요.
튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T 입니다.
선형대수학?
여러분들이 대학교 편입을 성공하여 원하는 학교에 들어간다면, 거의 대부분 공대일테니까 선형대수학 과목은 매우매우 중요한 역할을 하게됩니다. 공업수학에도 선형대수학이 등장하기 때문이죠 ㅎㅎ.. 보통은 [선형대수] 라는 전공 과목을 따로 개설하여 가르칩니다. 3학점으로 1학기 혹은 2학기 분량의 강의가 되곤 하지요. 그만큼 이후 전공 과목을 이해하는데 있어 미적분만큼이나 필수적인 수학 지식이 바로 선형대수라는 과목입니다.
우선 선형대수학은 행렬과 벡터의 표현이 주가 되는 수학입니다. 지난 교육 과정 까지만 해도 고등학교 수학에서 [행렬]이라는 큰 과목이 있었어요. 무려 문과 학생들도 공통으로 배우는 범위였지요. 하지만 이 [행렬] 단원은 교육 과정의 개편으로 삭제되었습니다. 97년생까지는 배웠으나 98년생부터는 삭제되었죠! 글의 시작부터 선형대수가 그렇게 중요하다고 하더니, 고등학교 수학에선 왜 없애 놓은 걸까요?심지어 미적분학은 지난 글에서 말씀드린 바와 같이 수열부터 시작하는 대장정을 거쳐 가르치는데말이죠. 그 이유는 제대로 활용할 수가 없었기 때문입니다.
앞서 말했듯 행렬은 문과도 함께하는 공통과정에 있었습니다. 하지만 벡터는 그 시절에도 지금도 이과의 선택과목 속에서만 존재하는 개념이지요. 바로 여기에서 문제가 생긴 겁니다. 행렬의 기본적인 성질만을 알려줄 뿐이기에 행렬이 곧 벡터의 또다른 표현 방법이라는 것과 그를 이용한 선형대수로의 이야기를 할 수 없었던 것이죠. 쉽게 설명하면 행렬이라는 것은 벡터의 집합입니다. 따라서 벡터를 배우지 않으면 행렬을 완전히 이해할 수 없다는 것이죠. 그런데 문과에서는 벡터를 안배우고, 이과에서는 벡터를 배우는 것이 문제점입니다. 그래서 공통과정인 행렬을 가르치는데 있어 문과와 이과의 차이가 날 수 밖에 없었고 교과과정에서 빠져버리게 되었죠.
문이과 교과과정의 오류나 가르치는 것의 어려움에 대한 문제점 말고도, 고등학교 수학의 수준에서 수학적으로 이후의 내용들과의 연결점을 제공하지 못하는 것도 꽤 큰이유였습니다. 그래서 결국 행렬은 고등학교 수학에서 그 자취를 감추게 되었죠.
간단한 연립방정식 풀이
여튼 여러분들이 편입에 합격하여 대학교에 가게되면 공업수학 과목에서 선형대수의 개념 행렬과 벡터를 접하게 됩니다. 그래서, 결국 행렬도 벡터도 각각 들어는 봤는데 그게 선형대수랑 무슨 상관이냐구요?이 얘기를 위해 우리가 초등학교 때 풀어본 간단한 연립방정식을 떠올려 봅시다.
이러한 연립방정식이 있어요. 이 연립방정식을 변수들의 계수로 이루어진 행렬 A와 변수 벡터 x로 이루어진 Ax=b 라는 꼴의 식으로 표현해보면 다음과 같습니다. (벌써 너무 어려워서 보기가 싫은 학생은 이해가 안되셔도 됩니다. 그냥 계수만 따와서 기호처럼 만들었다 정도로 가볍게 눈으로만 보고 넘어가셔도 돼요!)
지금 이렇게 숫자나 기호들을 큰 괄호안에 요리조리 넣어서 만든 녀석이 바로 행렬과 벡터입니다. 지금 선형대수학에 대한 글을 쓰고 있기때문에, 행렬을 억지로 만들어 보긴 했지만, 사실 여러분은 이 연립방정식을 푸는 방법을 두가지나 알고 있습니다.
첫번째 방법은 소거법입니다. 두번째 식에 2를 곱해 첫번째 식과 더하면 변수가 사라지죠. 2x-y=0과 -2x+4y=6 이 두 개의 방정식을 각각 더해 소거를 해주면, x=1, y=2가 나오게 되겠네요! 두번째 방법은 우리에게 너무나 익숙한 관점인, 가로로 식을 바라보는 관점입니다. 말이 어렵지만, 결국 위아래 두식으로 생각한다는거죠. 이러한 관점에서의 풀이는 어떤 것일까요?어렵지 않습니다. 각각의 방정식은 x-y평면상에서의 직선으로 나타낼 수 있으니 두 직선의 교점을 구하면 됩니다. 바로 이렇게 말이지요!
빨간 직선과 초록 직선이 만나는 점의 좌표가 (1, 2)라는 것이 보이십니까? 즉 첫 번째 방법으로 풀었을 때 나온 답 x=1, y=2와 정확하게 똑같은 답이 나온다는 것을 확인해볼 수 있죠.
선형대수학에서 배우는 연립방정식 풀이
자, 그럼 선형대수를 시작해봅시다. 이제 우리에게 중요한 것은 지금까지의 행-을 기준으로 바라본 식이 아니라 열-을 기준으로 하는 선형 조합입니다. 이 또한 말이 어렵지만, ‘x-y로 이루어진 식’이 아니라 ‘각각의 변수 x와 y에 대한 조합’으로 바라본다는 말이예요.
주황색 벡터가 (2, -1), 파란색 벡터가 (-1,2)를 말하며 녹색 별은 두 벡터의 조합으로 나타나는 (0, 3) 입니다. 모든 x, y의 조합으로 평면 전체를 나타낼 수 있다! 이것이 선형 조합의 핵심적인 내용입니다. 자! 이해가 안가셨어도 됩니다. 중요한건 연립방정식을 소거법과 직선의 방정식의 방법 말고도 ‘선형대수학’ 관점에서 풀 수 있는 방법이 존재한다. 라는 것만 머리에 들어오셨으면 됩니다!
그렇다면 저 쉬운 연립방정식을 뭐하러 그렇게 어렵게 푸느냐 라고 반문을 하실 수 있습니다. 물론 방금 예로 들은 연립방정식에서는 충분히 그렇게 느끼실 수 있죠. 그러나 당장 변수가 1개만 더 추가되어 x, y, z 변수로 이루어진 연립방정식을 풀어야 하는 경우는 어떨까요? 아니면 10개, 100개의 변수로 이루어진 연립방정식은..? 생각도 하기 싫죠.
여기서 잠깐 짚고 넘어갈 중요한 포인트가 있습니다. 위 예시에서 변수가 2개인 연립방정식을 풀 때 xy평면에 직선의 방정식을 그려서 이해를 했죠? xy평면은 2차원 세상입니다. 변수가 2개이니 2차원에 그림을 그려야 하죠. 변수가 3개라면? 당연히 3차원에 그림을 그려야합니다. 우리가 사는 세상이 3차원이니 나쁘지 않게 이해하실 수 있을겁니다. 그렇다면 4차원은 어떤 공간에 그래프를 그려서 이해를 해야할까요? 4차원 그래프를 그리실 수 있는 학생이 있나요? 없을겁니다. 변수가 10개, 100개라면 어디에 그림을 그려야 하죠? 막막하죠.. 이렇게 이해 불가능한 영역에 대해 끊임없이 고민하고, 어떻게 하면 복잡한 연립방정식을 빠르게 풀 수 있을까를 고민하여 만들어진 학문이 선형대수학이다. 라고 생각을 해주시면 되겠습니다 ㅎㅎ
오늘 글이 좀 어렵게 느껴지실 수 있을 것 같습니다. 여기서 사실 더 쓸 내용이 많은데, 여기서 더 쓰면 여러분들이 다 안읽고 넘어가버릴 것 같아서 잠시 멈추고 다음에 선형대수학에 대한 고찰 2편으로 찾아뵙도록 하겠습니다! 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!
이상으로 이번 글은 여기서
마무리 하도록 하겠습니다!
지금까지 송두원T 였습니다.
“편입을 경험했기에, 합격은 튜나입니다.”
