안녕하세요.

튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T 입니다. ​

​지난번 칼럼에서 기초수학과 미적분 과목에 대해 목차와 공부방법들을 소개했었죠! 이번에는선형대수학의 목차, 공부방법 전반적인 흐름까지 쭈욱 설명해드리고자 글을 쓰게 되었습니다. 97년생까지는 고등학교때 행렬과 벡터를 배웠지만.. 98년생부터는 기하와 벡터로 교육과정이 바뀌어 행렬의 행도 모르는 상태로 선형대수학 공부를 시작하시는 분이 정말 많이 생기게 되었습니다. 다소 익숙하지 않고 어색한 개념과 기호들이 자주 출몰(?) 하다보니 선형대수학에서 멘탈이 와르르 깨지는 분들이 생기곤 합니다만, 선형대수학은 오히려 점수를 주는 효자과목입니다.

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단순하게 설명하면 미적분에 비해서 계산과정이 1/5 정도라고 생각해주시면 돼요. 하지만 워낙 생소한 단어들과 개념들을 만나게 되고, 외워야 할 것들이 많고 어색하여 진도를 나가는 내내 꽤나 힘들고 어렵겠지만 한번 딱! 깨달으면 선형대수는 무난하게 지나갈 수 있습니다. 그럼 편입수학에서 배우는 선형대수학에대해서 자세히 소개해드리도록 하겠습니다!

선형대수학 – 목차

1. 행렬 – (행렬의 종류, 행렬식, rank, 연립방정식 등)

2. 벡터 – (벡터의 내적과 외적, 스칼라 삼중적, 공간도형 방정식 등)

3. 벡터공간 – (일차결합과 생성, 기저와 차원, 그램슈미트 직교화 등)

4. 고유치와 고유벡터 – (고유치 고유벡터 구하기, 대각화, 이차형식 등)

5. 선형변환 – (선형변환과 표현행렬, 핵과 치역 등)

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제가 사용하는 선형대수학 교재의 목차입니다. 거의 대부분의 편입수학 학원 선생님들이 위 시퀀스를 따라가요! 1단원 행렬에서는 처음 배우는 학생들이 워낙 많다보니, 행렬이 뭔지, 행렬의 종류가 뭐가있는지 등등 매우 기초적인 것 부터 가르쳐 이후에 행렬식, rank를 해결할 수 있도록 합니다.

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이후 2단원에서는 ‘벡터’라는 개념을 배우게 될텐데, 워낙 유명한 개념이라 다들 한 번씩은 들어봤을 겁니다. 벡터는 크기와 방향을 동시에 가지는 녀석이죠. 그래서 2단원에서는 크기와 방향에 대해서도 이야기를 하며 벡터를 이해시킵니다. 이후 벡터를 막 곱하고 더하고 하는 계산과정을 배우며 내적과 외적, 스칼라 삼중적, 공간도형방정식까지 배우게 됩니다.

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3단원에서는 벡터공간이라는 개념을 배웁니다. 많은 학생들이 좌절을 맛보는 단원이에요. 계산을 해야하는 문제는 없습니다. 손은 가만히 쉬고 있는데, 머리는 계속 써야하는 암기와 이해의 경계를 엄청나게 왔다갔다 하는 단원이에요. 처음 배우면 매우 매우 어렵습니다. 하지만 딱 한 번 뚫리면 이후로는 계속 편해지는 특징이 있죠. 3단원에서는 일차결합과 생성(span)이라는 개념에서부터 그램슈미트 직교화과정까지 배우게 됩니다

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4단원에서는 고유치와 고유벡터를 배우게 돼요. 행렬마다 어떤 고유한 값과 고유한 벡터를 가지며, 고유한 특징을 가지는데 그런 것들을 배우는 단원이라고 생각하시면 됩니다.

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이후 1~4단원까지 잘 공부를 하셨다면 선형대수학의 꽃 5단원에 선형변환을 배우시게 됩니다. 음.. 끝판왕 보스의 느낌이에요. 선형변환을 이야기하기 위해서는 선형 사상에 대해 이야기 해야 하는데, 간단히 얘기하면 우리가 알고있는 함수와 비슷합니다. y=f(x)라는 함수에서 우리는 정의역 x에 보통 숫자를 대입하죠. 0, 1, 2 이런 녀석들을 말이죠. 하지만 만약 정의역에 벡터와 행렬을 대입하는 그런 함수도 있지 않을까? 하는 고민을 해본적이 있나요? 넵.. 없으시겠죠. 그런 고민을 통해 나오게 된 것이 선형사상입니다. 선형사상은 함수입니다. 대신 일반적인 함수와는 달리 정의역에 벡터와 행렬이 들어갔을 때 치역으로 벡터와 행렬이 나오는 그런 함수..!!

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단원설명을 최대한 이해하기 쉽게 쓰려고 노력했지만, 감이 잘 안오실겁니다. 그래도 실제로 배우기 전에 두루뭉술하게라도 ‘아 대충 뭐 하는 과목인지 알겠다’ 정도의 느낌만 가져가셔도 저는 이 글을 쓰는 시간이 전혀 아깝지 않겠습니다 ㅠㅠ!!

선형대수학 – 공부방법

선형대수학은 일부 계산이 오래걸리는 문제가 존재하기는 합니다만, 그래도미적분처럼 엄청난양의 계산을 요구하는 문제는 없습니다. 굳이 말하자면 암기한 정의들을 가지고 행렬과 벡터들을 가지고 노는(?) 과목입니다. 순수 계산실력 보다는 정의와 개념을 누가누가 정확히 알고있고, 누가누가 문제푸는 방법을 정확히 외웠는지가 점수를 결정합니다. 또한 진도를 거의 두달 가까이 나갈정도로 꽤 방대한 양을 가지고 있으므로 개념별, 유형별로 정리를 잘해놓아야만 합니다.

이해가 정말 중요한 과목이지만 선형대수학은 이해하기가 정말 힘든 과목이에요. 아무리 선생님이 설명을 잘 해도 선형대수학 처음 배우는 학생들의 표정은 달 나라에 가게 된답니다.. 따라서 본인이 이해 가능한 범주와 이해 불가능한 범주를 정확하게 나누고 판단해야 합니다. 예를들어 선형대수학에서는 4차원, 5차원, 6차원을 다루는 문제들도 존재합니다.. 벌써 이해가 불가능하죠. 우리가 사는 세상이 3차원인데 무슨수로 이 이상의 차원을 이론적으로 이해하겠습니까. 그리고 여러분들이 다들 아시는 y=f(x)라는 함수의 꼴을 벡터(vector)로 표현하여 문제를 풀기도 하죠! 아래 실제 기출문제 풀이중 일부를 가져온 예시를 봅시다.

이라는 함수를 평면에 나타낸 모습입니다. 우선 함수를 평면에 놓을때는 초월평면이라는 개념을 도입해 문제를 풀게 됩니다. 함수를 벡터화 시킬 수 있나? 평면은 2차원인데 초월평면은 몇차원이지?이런 궁금증들이 생길 수 있습니다. 하지만 이해 불가능의 영역이구나.. 이러고 넘어가서 문제풀이 방법을 통으로 암기해버리면 이 문제는 맞출 수 있습니다. 애초에 이해의 영역을 초월해 버렸기 때문에 초월평면이라는 개념을 도입하여 문제풀이라도 하자라는 취지에요.

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선형대수는 이런 느낌의 문제가 상당히 많습니다. 여러분도 선형대수학 진도를 나갈때 이 점을 항상 유의하셔야 합니다. 개념 이해와 증명과정에 집착하면 끝이 없어요. 문제 유형 파악 후 문제 풀이 방법을 체계적으로 암기하는 것이 정말 효과적이고 고득점을 위한 합리적인 방법입니다. 이게 근데 무작정 암기가 아니라.. 풀이 방법을 외우면 머릿속에서 이해가 됩니다. 참 어떻게 설명해야 할지 모르겠네요. 이건 직접 겪어봐야 하는데 ㅋㅋㅋㅋ 그때까지 열심히 달려봅시다!

이해하기 힘든 선형대수라는 과목에서 점수를 얻기위해 암기라는 도구를 사용하여 문제를 풀죠. 암기를 하면 또 역으로 이해가 되버리는 참으로 모순적이고 아이러니한 과목입니다. 이 선형대수학에서 암기만으로는 안되는 아주 골치아픈 녀석이 하나 있습니다. 학생들을 괴롭히는 단골문제죠. 바로 명제 문제입니다. 명제문제가 무엇이냐..? 예를들면

ㄱ. 행렬 A의 trace는 고유치의 합과 같다.

ㄴ. 행렬 A와 B의 행렬식의 곱은 det(AB)와 같다.

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이런 보기들을 가지고 맞는지 틀리는지 고르는 문제입니다. 선형대수학에 명제는 정말정말 많습니다. 보고 이해한 후에 뒤돌아서면 바로 까먹어요.. 정말 신기합니다 ㅋㅋ 그래서 많은 학생들이 선형대수 명제 문제를 그냥 버리거나 포기하고, 명제만 만나면 쫄아버려서 제 실력이 안나오는 기이한 현상들이 나타납니다. 절대 포기하면 안돼요. 충분히 정복할 수 있어요. 그래서 명제문제를 어떻게 정복할까요? 아래 그림을 보시죠

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좀 악필이지만 실제 저의 수험생활 시절 선형대수 명제 문제 모음집입니다. 이처럼 수험생활 내내 보게되는 선형대수의 모든 명제를 노트에 적어서 모아놓고 (O,X) 까지 쳐놓으면 명제 문제집이 완성되죠. 저 수험생활때 생각해보면 아마 명제만 150개 정도 나왔던 것 같아요. 저처럼 개인적으로 명제 관련 문제집을 만드시면 복습하기도 편하고 시험장 들어가기 직전에 쭈욱 훑어보기에도 용이하겠죠! 그래서 선형대수학 공부를 하실 때, 풀게되는 모든 명제 문제의 보기들을 노트에 잘 적어두셔야 해요. 나중에 몰아서 한방에 해야지 이런 생각으로 미루게되면 끝까지 안하게됩니다. 성실하게 그때 그때 잘 노트에 적어두세요!

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그래서 결론은 뭐다 !?

1. 이해 안되는건 받아들이고 문제풀이 방법을 외우자.

2. 명제 문제들을 틈틈히 정리해 따로 모아두자.

이렇게 되겠네요 ㅎㅎ 지금까지 선형대수학에대해 설명드렸습니다. 원론적인 이야기보다 공부 방법에 대한 이야기가 주를 이루었던 것 같네요. 도움이 되셨다면 좋겠습니다!

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이상으로 이번 글은 여기서

마무리 하도록 하겠습니다!

지금까지 송두원T 였습니다.

“편입을 경험했기에, 합격은 튜나입니다.