안녕하세요~~
오늘은 푸리에 및 라플라스 전개, 변환에 대해
말씀드리기에 앞서 무척 기본적인 바탕이 되는
삼각함수에 대해 말씀드리려 합니다.
지난 시간의 테일러 급수가 다항함수를 이용하여
함수를 간단히 나타내는 방법이었다면
푸리에 변환도 마찬가지로 단순한 함수인
삼각함수를 사용해 함수를 표현하는 방법입니다.
삼각함수의 주기성을 이용해서요!
하지만 푸리에 변환에 대한
본격적인 이야기를 드리기 전에
그 바탕이 되는
삼각함수에 대해 기본적인 내용들을 다시금 되짚어 봅시다.
삼각함수는 중학교 수학과정에서
처음 등장한 이래로
오랜 시간 우리와 함께해온 개념이예요!
하지만
또 한편으로는 어린 학생들을 수포자로 만들기 시작하는
본격적인 내용이 아닐까 싶어요.
편입 수학 공부를 시작하면서
기초 수학 부분을 공부하게 되면,
그때 그 시절의 악몽이 되살아나는 듯한
경험을 하기 마련입니다.
삼각함수의 도입부부터
우리는 다양한 [공식]들을 접하게 됩니다.
하지만,
사실 삼각함수에서
여러분이 기억해야 할 공식들은
결코 많지 않습니다!
삼각함수의 공식이라고 이름 붙이는 많은 것들은
사실 삼각함수의 성질을 알면
자연스럽게 유도되는 것들이 많습니다.
여러분이 삼각함수에서
반드시 기억해야 할 것들은 이런 것들이예요!
1. 삼각함수의 정의와 성질
2. 단위원과 그래프에서의 해석
3. 삼각함수의 미분/적분
4. 오일러 공식
기초 수학 단계에서는 1, 2번에 집중하며
개념과 문제들을 풀어 보시고
이후 극한과 미적분 단계에 이르러서는
아무래도 계산의 효율성을 위해 몇몇 미적분
공식들은 익히게 될 겁니다.
사실 극한 부분에서는
이전 시간에 설명한 테일러 급수를 적용하면
삼각함수의 극한을 훨씬 쉽게 계산할 수 있어요.
마지막의 오일러 공식은 지수함수와 삼각함수가
결국 한 몸이라는 것을
설명하는 수학의 위대한 방정식 중 하나입니다.
그럼 우리 삼각함수의 정의부터 시작해보도록 해요.
우리가 처음 삼각함수를 배울 때 접하는 그림입니다.
삼각함수는 말 그대로 삼각형으로부터 정의된 함수입니다.
물론 위 그림과 같이 예각에서 정의한 함수를
일반각으로 확장하며
삼각함수를 표현하게 되지요.
이러한 삼각함수의 가장 중요한 특징은 바로 주기성입니다.
삼각함수는 주기성을 갖고 있기에
자연과학, 공학에 있어 무궁무진한 활용도가 있습니다.
일정 주기를 가지고 반복되는 현상을 수학적으로 해석할 때
아주 유용하게 사용되는 것이 바로 삼각함수입니다.
이러한 해석에 큰 도움을 주는 도구가
또한 앞으로 차후 말씀드릴
푸리에 변환이기도 하고요.
여러분도 익히 알다시피 삼각함수의 주기성은
삼각함수의 그래프 모양에서
바로 시각적으로 확인해 볼 수 있습니다.
하지만 우리가 보다 근본적으로 생각해야 할 부분은
삼각함수의 그래프가 왜 그런 식으로 나오는지? 예요.
앞서 삼각함수를 처음 정의한 그림에서,
우리는 기준이 되었던
각도 세타의 크기를 0부터 2*pi까지 늘려가며
삼각형을 그리고, 그에 따른 삼각함수 값의 변화를 기록합니다.
바로 이렇게 얻어진 그래프가
각도에 따른 삼각함수의 그래프입니다.
말로는 다소 이해가 어려울 수 있지만,
다음 움짤을 보신다면 무슨 말인지 이해가 쉬울거예요!
튜나편입 편입 수학컨설팅
여기에서 우리는 삼각함수를 그래프로 표현하는
두가지 대표적인 방법을 배우게 됩니다.
바로 단위원과 각도에 따른 삼각함수 크기 그래프입니다.
단위원(unit circle)은 기준 단위가 되는 원이라는 뜻으로,
반지름이 1인 녀석이예요.
단위원은 삼각함수에서 무척이나 중요한 의미를 지니는데
그 이유는 단위원 위의 점 좌표는
해당 좌표의 각도에 따른 코사인과 사인 값으로
표현되기 때문입니다.
삼각형에서, 빗변의 길이가 항상 1이란 얘기거든요!
따라서 밑변인 x축 좌표값이 해당 각도의 cos 값이 되고
마찬가지로 높이인 y축 좌표값이
해당 각도의 sin 값으로 표현됩니다.
위 움짤은 다시 말해 각도가 0부터 2*pi까지 커질 때
y좌표인 sin 함수의 크기를 그려낸 그래프입니다.
다음 시간에는 이에 이어서
단위원과 그래프에서의 삼각함수 해석에 대해
조금 더 말씀드리겠습니다.
감사합니다.
