안녕하세요~
오늘은 미분법에 이어 짝을 이루는 적분법에 대해
얘기해 보려 합니다.
계속해서 강조하고 있지만
편입수학의 미적분 내용들은 사실
고등학교 범위에서 크게 벗어나는 개념들은 많지 않습니다!
적분법에서도 등장하는 적분 자체의 개념이나
다양한 정적분을 구하는 방법들의 이름은
들어 보셨을 거라 믿습니다.
처음 듣는다면…
더 열심히 공부하시면 되죠!
하지만 적분법은 솔직히 편입 수학
전체 시험 범위에서
가장 어려운 단원으로 꼽을 수 있어요!
적분법이 어려운 이유는
첫번째, 수학적 개념의 난이도가 올라가기 때문입니다.
분명 적분은 미분의 역연산이고
적분법들을 열심히 외워서 적용하면 된다! 라고 생각하기엔
대학 수학에서 적분의 개념들을 정의할 때 등장하는
다양한 개념들이 많이 낯설거예요.
함수의 상한과 하한, 유계, 리만 적분 등등
수학적으로는 무척이나 의미가 중요한 개념들이 많이 등장합니다.
다행히 언제나 그렇듯 개념을 정립하는 부분에서는
출제할 문제가 별로 없기 때문에
이 부분은 이렇게 적분이 정의되는 구나~ 하고
이해하면서 몇몇 대표적인 문제 유형들에 대해서만
준비하면 수월할 겁니다.
그렇다면 이어서
적분법이 어려운 두번째 이유는 바로
각종 기상천외한 함수들이 등장하기 때문입니다.
미분과 적분은 반대의 과정이라고 알고 있는데,
우리가 생각하기에 그 시작부터 약간의 차이가 있다는 것을
알아차릴 수 있어야 해요!
미분은 극한부터 시작해서 언제나 ‘미분가능성’에 대해
알아보는 것을 중요시하게 생각했습니다.
이 함수가 미분이 가능한 꼴인지? 애당초 수렴을 하는지?
이런 것들이 근본적인 질문이었어요.
하지만 적분에 이르러서는 따로 적분가능성?? 이란 말을
들어본 적이 없지요?
왜일까요??
정답은, 우리 눈 앞의 함수가 과연 적분이 가능한지
일반적으로 판단할 방법이 없기 때문입니다….
물론 수렴하지 않는 구간의
적분 값조차 구해내는
이상적분이란 방법을 배우긴 하지만요.
– 의미는 물론 다르지만, 이름 그대로 이상한 적분이라고 생각하셔도 됩니다.
그래서 우리의 앞길을 밝혀준 유수의 똘똘이 석학들은
한발 앞서 다양한 함수들이 적분 가능하다는 것을 힘차게 증명했어요.
그 결과로 정리된 것이 미적분, 공업수학 전공 교재
맨 앞/뒤에 붙어있을 [적분테이블] 입니다.
사실 거기에 있는 적분테이블은
적분법에 담긴 공식들을 요약한 수준이지만,
여러분이 편입 이후 공학을 계속해 공부하다 보면
기상천외한 함수를 기똥차게 적분하는 방법들이 이미 있어요.
그러면 우리가 적분법에서 공부하는 것은 결국 무엇일까요….?
바로 이미 적분 가능하다고 알고 있는
형태로 이끌어 내는 과정을 배우는 것입니다!
이러한 과정의 일환으로 우리는
치환적분, 부분적분 등등의 방법들을
다양한 함수들에 적용하는 것을 연습하게 됩니다.
그리고 그에 이어서,
이제 다양한 함수들에 대해 적분을 할 줄 안다고 생각하며
적분이 적용되는 부분들이 등장하게 되죠.
그것이 바로 길이/거리 구하기, 넓이/부피 구하기 등등입니다.
전체적인 단원의 흐름은
고교 수학의 흐름과 똑같습니다.
구간이 정해지지 않은 부정적분을 통해
미분의 역연산으로서의 적분을 처음 적용하고,
무한급수의 변환을 통해 정적분을 표현하는 것을 익힙니다.
이후 다양한 적분 공식들에 대해 배우고
앞서 말한 넓이 등의 응용을 다루게 되는 거예요.
이러한 흐름 속에서
앞서 말씀드린 보다 수학적인 정의들과
조금 더 지랄맞은 초월함수의 조합들이 등장하고
이상적분 등의 소소한 개념이 추가될 뿐입니다.
적분법은 분량만 놓고 보면 정말 긴 단원이예요!
더군다나 무작정 온갖 형태의 함수들에 대해
적분테이블을 씹어 먹겠다며 덤비면
지치고 헷갈리게 될 뿐입니다.
겁먹지 말고 적분 공식들이 어떻게 어떤 경우에 적용되는지
천천히 익혀 나가며 연습하다 보면
어느덧 적분 마스터가 되어있을 겁니다.
적분학에서 이어지는 미적분학과 공업수학 내용을
바라보면서 나는 여기까지인가…. 하며
좌절하지 마세요!
분명히 말씀드리지만 미분학/적분학까지
넘어오셨다면 나머지 내용들은 그 분량에 비해
무척 수월하게 익히실 수 있습니다!
다음 시간에는 편미분을 비롯한 미적분학 뒷부분에 대해
이야기해 보겠습니다.
감사합니다!
