안녕하세요.
여러분~~
오늘은 미적분학의 기본 정리에 대해
이야기해 볼까 합니다.
미적분학의 기본정리!
여러분은 이 정리에 대해 알고 계신가요?
합성함수의 미분법이나
치환적분, 부분적분 등등
다양한 미적분 공식들에 통달한 여러분들도
막상 미적분학의 기본정리라고 하면
‘그런 정리가 있었나…..?’ 싶을거예요!
하지만 오늘도 힘차게 미적분 문제를
풀면서 열공하고 있는 여러분들은 모두들
이 미적분학의 기본 정리를 알고 계신 겁니다.
미적분학의 기본 정리를 한마디로 말하면,
여러분이 정적분을 풀이하는 과정 그 자체예요!
바로 이 한 장의 그림이
미적분학의 기본 정리를 잘 나타내고 있습니다.
너무나도 자연스럽게 알고 있는,
익숙한 내용이지요?!
아니라고요? ㅠㅠ
사실 공식처럼 매번 사용하기는 하는데
이게 왜 이렇게 됐던 것인지 기억이 안 난다고요?
그런 여러분들을 위해,
오늘은 이 미적분학의 기본 공식에 대해
설명을 드릴 계획입니다.
거창한 이름에 걸맞게
미적분학의 개념 성립에 있어서
가장 핵심적인 내용이라고 해도 과언이 아닌
중요한 내용이거든요!!
그렇지만 어렵지는 않은 내용이니 잘 따라와주세요!
우선 미적분에서 항상 우리의 주된 관심사는
변화하고 있는 무언가를 관찰하는 것입니다.
물리와 미분을 공부하면서 ‘변화량’이라는 말을
많이 접해 보셨을 거예요!
변화하는 것을 수학적인 표현으로 나타내는 것이
미적분의 시발점입니다!
가장 대표적인 예시로,
정지 상태에서 출발하여 어느정도 조금 달리다가
다시 정지 상태가 된 자동차를 가정해봅시다.
이 자동차의 시간에 따른 속도 그래프가
간단하게 요렇게 된다고 가정하고, 그래프를 그려볼게요.
8초 동안 자동차가 움직였을 때,
우리는 이 자동차가 출발지점으로부터
어디까지 이동했는지를 알고 싶어요!
이때 자동차의 이동거리는
시간-속도 그래프에서 그래프 아래의 넓이로
구할 수 있습니다.
(시간)x(속도) = (이동거리) 이렇게 말이예요!
하지만 저렇게 곡선으로 생긴 부분의 넓이는
어떻게 구해야 할지 알 수가 없으니,
우선 히스토그램처럼 직사각형의 넓이로 근사해 봅시다.
간격은 계산이 편하도록 1초마다로 정하고
각 직사각형들의 넓이를 구해보면 이렇게 됩니다.
하지만 대충 봐도 이렇게 구한 넓이는
뭔가 오차가 크게 느껴지죠?
오차를 줄이기 위해서는 보다 촘촘하게
직사각형을 세워줄 필요가 있습니다.
바로 이렇게 말이예요!
여기서 만족할 수는 없죠!
더더욱 촘촘하게! 나아가면
(이것이 극한의 개념입니다.)
결국 우리가 구하고 싶은 곡선 아래의 넓이와
한없이 가까워지게 됩니다.
이제 이러한 개념을 미적분 기호를 사용해서
뭔가 있어 보이게끔 적으면 다음과 같습니다.
직사각형의 너비가 되었던 시간 간격을
0에 가깝게 극한을 취하면
우리가 원하는 저 그래프 아래의 넓이가 되는거지요!
여기에서! 이제 한걸음 더 나아가 우리는
임의의 시간 T에 대해 처음부터 시간 T까지의 이동거리를
알고 싶습니다.
임의의 시간 T에 따른 이동거리의 함수를 s(T)라 하면,
s(T) 함수는 위 그림과 같이 표현할 수 있어요!
이제 이 임 s(T)를 구하는 과정이 곧,
미적분학의 기본 원리의 내용이랍니다!
이번에도, 여기에서 잠시 쉬어가면서
미적분학의 기본 원리를 본격적으로 마무리하는 건
다음 글에서 이어갈게요!
감사합니다~
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