안녕하세요.

튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T 입니다.  

오늘은 미분이 중복해서 나타나는 고계도함수에 대해 말씀드리려고 합니다! 이전 시간에 미분법도 말씀드렸고, 적분에 관해서도 이야기 했었죠. 그리고 상당히 학생들이 어렵게 어렵게 받아들이셨을 미적분학의 기본정리에 대해서도 언급을 했었습니다 ㅎㅎ.. 여러분들이 그냥 너무 어려워하며 넘기셨을까봐 오늘은 조금은 쉽게 이해할 수 있는 내용에 대해서 가져와봤습니다.

고계도함수는 도함수는 도함수인데 ‘고계 ‘가 붙었죠. 도함수라는 말 자체가 미분을 통해 유도가된 함수죠. 여기에 고계가 붙었다면 여러번의 미분을 통해 유도가 된 함수다. 라고 생각하시면 편합니다. 정말 간단하게 한마디로 정리하면 그냥 해당 변수에 대해 여러 번 미분을 수행해 주면 됩니다! 무척이나 간단한 이야기지요. 하지만 단순히 미분 계산을 여러 번 하기 앞서, 고계도함수의 의미와 함께 고계도함수를 우리가 편입 시험에서 언제 볼 수 있는지 정리해 보도록 하겠습니다!

이계도함수

가장 간단한 고계도함수인 이계도함수부터 살펴봐요. 이계도함수는 숫자 2가 들어가있죠! 즉 두번 미분해서 유도가 된 함수라고 생각하시면 됩니다. 도함수는 변수의 변화에 대한 함수의 변화량을 나타내는 함수였죠? 그렇다면 두번 변화를 준다면? 변화량의 변화량을 나타내는 함수구나! 라는 것도 알 수 있으실겁니다.

역시 바로 이렇게 정의만 듣고 나서는 무슨 얘기인지 와 닿지 않으실 거예요. 그러면 이계도함수의 수학 기호부터 다시 살펴보도록 합시다. 이계도함수 기호를 설명하기 전에 하나만 설명드려볼게요. 아래사진을 보시죠!

우리가 어떤 함수 y를 미분했을때, 이 함수를 미분하였다! 라는 표시를 해줘야 하는데, 이 경우 보통 프라임을 붙혀 y’ 이라고 표현을 합니다. 위 사진은 y’을 조금 다르게 나타낸 똑같은 표현입니다. 사진 맨 오른쪽에 나와있는 녀석을 보시면 d/dx 와 (y)로 나눠져 있는 것을 보실 수 있습니다. 일단 이 기호를 읽고 해석하는 방법에 대해 아셔야 해요. 수학적인 약속이니 그냥 받아들이시면 됩니다! d/dx는 ‘x로 미분해라’ (y)는 ‘y를’ 을 의미합니다. 그럼 이 두 개를 합쳐봅시다! 한국말 어순으로 살짝쿵 바꿔주면 ‘y를 x로 미분해라’ 라는 소리이겠죠! 여기까지 이해가 가셨나요? 그렇다면

위 사진처럼 기호가 작성되어 있다면 어떻게 해석해야 할까요? ‘B를 A로 미분하여라’ 라는 소리입니다. 어렵지 않죠 ㅎㅎ 그럼 이번에는 이계도함수의 표현 방법에 대해 배워봅시다! 함수 y에서 x에 대한 이계도함수는 다음과 같이 표현합니다.

아까도 말씀드렸지만 이계도함수는 2번 미분한 함수입니다. 한번 미분하면 y’ 두번 미분하면 y” 이겠죠! 즉 y’을 미분하면 y”이 되는겁니다. 그래서 위에 있는 사진을 아까 배운대로 해석해보면 y’을 x로 미분하여라. 라는 뜻이겠죠. 그런데 y’은 dy/dx로도 나타낼 수 있기 때문에 아래처럼 나타낼 수 있습니다.

이러한 것들을 배우는 파트가 이계도함수이고 이걸 한 번 더 하면 3계도함수 한 번 더하면 4계도함수 쭉쭉쭉 n번 진행하면 n계도함수라고 말 할수 있겠고 n의 숫자가 높아지는 도함수를 우리는 고계도함수라고 이야기합니다!

이계도함수 심화

위에 설명이 다 이해가 되셨다면 이번에 제가 말하는 것 까지 한번 이해해보려고 노력해보세요! 근데 이 부분 읽다가 저게 무슨소리지… 하며 머리가 하얘진다면 그냥 안읽으셔도 됩니다 ㅎㅎ! 여튼 변화량의 변화량이라는 와 닿지 않는 말에 대해서 그림을 통해 표현하면 다음과 같습니다.

첫번째 dx라는 시간 변화량 동안의 함수 변화량은 df1, 두번째 dx라는 시간 변화량 동안의 함수 변화량은 df2라 했을 때 이 두 함수 변화량 간의 차이가 d(df)가 되는 겁니다. 그리고 이 변화량의 차이를 (dx)의 제곱에 대한 비로 나타내게 됩니다!! 이해 되셨나요? 괜찮아요 나중에 배우면 다 이해돼요 물론 저에게 배우면 더 좋겠죠 ㅋㅋㅋ

그렇다면 이러한 고계도함수가 적용되는 개념은 무엇이 있을까요? 실생활에서 자주 등장하는 것은 이동거리-속도-가속도로 이어지는 시간에 따른 이동 관련 함수들이지요! 하지만 우리가 편입 시험에서 주로 마주하게 되는 활용예는

바로 테일러급수입니다!물론 이와 연관되는 라플라스, 푸리에 변환은 물론이고요. 테일러급수는 고계도함수의 합을 통한 근사식으로, 사인 함수와 같은 형태의 함수를 다항함수의 합으로 표현해 낼 수 있는 방법입니다! 나중에 기회가 된다면 더 자세히 말씀드릴게요 ㅎㅎ

여기까지 오늘은 고계도함수에 대해 설명드렸어요! 최대한 쉽게 이해하실 수 있도록 이야기하려고 했는데 흥미를 느끼셨었다면 좋겠습니다. 항상 약간의 호기심과 흥미로 시작되는 것이 수학공부니까요!

이상으로 이번 글은 여기서

마무리 하도록 하겠습니다!

지금까지 송두원T 였습니다.

“편입을 경험했기에, 합격은 튜나입니다.”