안녕하세요. 튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T입니다. 이전 칼럼에서 다룬 미적분학의 기본 정리, 많이 어려우셨죠? ㅎㅎ 학생들이 너무 어려워하며 넘기셨을까 봐, 오늘은 조금은 쉽게 이해할 수 있는 ‘고계도함수’에 대해 이야기해 보려 합니다.

🤔 고계도함수, 이름만큼 어려울까?

‘고계도함수(Higher-order derivative)’는 이름만 들으면 무척 어려워 보입니다. 하지만 전혀 그렇지 않습니다. ‘도함수’는 미분을 통해 유도된 함수죠. 여기에 ‘높을 고(高)’ 자가 붙었으니, 그저 **”여러 번 미분을 통해 유도된 함수”**라는 뜻입니다. 한마디로, 해당 변수에 대해 여러 번 미분을 수행하면 그게 바로 고계도함수입니다!

단순히 계산을 여러 번 하는 것 이상의 의미를 파악하기 위해, 고계도함수의 의미와 편입 시험에서의 활용법까지 차근차근 알아보겠습니다.

🔢 1단계: 이계도함수 기호 완전 정복하기

가장 간단한 고계도함수인 ‘이계도함수(Second derivative)’부터 시작해봅시다. 이름에 숫자 2가 들어있죠? 맞습니다. **두 번 미분해서 유도된 함수**입니다. 그렇다면 복잡한 수학 기호는 어떻게 읽고 이해해야 할까요?

미분 기호, 이렇게 읽으세요!

어떤 함수 y를 미분했다는 표시는 보통 y’ (y 프라임)으로 간단히 표현합니다. 하지만 수학자들이 사용하는 공식적인 기호는 아래와 같습니다.

이 기호는 d/dx 와 (y)로 나눌 수 있습니다. 이것은 수학적인 약속이니, 이렇게 받아들이시면 됩니다.

• d/dx : “x로 미분해라” 라는 명령어(Operator)입니다.
• (y) : “y를” 이라는 대상(Object)입니다.

두 개를 합쳐 한국어 어순으로 바꾸면? **”y를 x로 미분해라”**라는 명확한 뜻이 됩니다.

이계도함수 기호의 의미

이계도함수는 ‘한 번 미분한 함수(도함수)를 한 번 더 미분한 것’입니다. 즉, y’을 미분하면 y”이 되는 것이죠. 이를 기호로 표현하면 아래와 같습니다.

y’은 dy/dx 이므로, ‘y’을 x로 미분하라’는 의미인 $\frac{d}{dx}(y’)$는 $\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$가 되고, 이것을 줄여서 $\frac{d^2y}{dx^2}$로 표현합니다. d가 두 개, x가 두 개라서 제곱처럼 보이는 것이죠!

📈 2단계: 이계도함수의 진짜 의미 파헤치기

도함수(y’)가 ‘변화량’을 나타낸다면, 이계도함수(y”)는 **’변화량의 변화량’**을 나타냅니다. 아직 와닿지 않으시죠? 두 가지 개념으로 설명해 드릴게요.

✨ 3단계: 그래서 고계도함수는 어디에 쓸까?

지난 칼럼에서 다루었던 매클로린 급수와 테일러 급수는, 사인(sin) 함수처럼 복잡한 함수를 다항함수의 합으로 근사하여 표현하는 강력한 방법입니다. 이때 각 항의 계수를 결정하는 것이 바로 n계도함수, 즉 고계도함수입니다. 고계도함수 없이는 테일러 급수도 존재할 수 없는 것이죠.