안녕하세요.

튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T 입니다. ​

요즘 칼럼에서 전부 편입수학 과목에 대한 이야기와, 다소 어려움을 느낄 수 있는 수학적인 내용 위주로만 글을 썻던 것 같아서 분위기를 환기할 겸 가벼운 이야기를 해보려고 합니다. 가벼운 이야기라해서 결코 중요하지 않은 내용은 아니에요. 제가 수업을 하며 학생들을 가르칠 때 하루에 한번씩은 꼭 이야기하는 말일 정도로 꽤 중요한 내용이랍니다! 바로 누적복습에 관한 이야기죠!

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에빙하우스의 망각곡선

위 그래프를 보신 적 있으신가요? 바로 그 유명한 에빙하우스의 망각곡선입니다. 공부 뿐만 아니라 다양한 분야에서 쓰이는 그래프에요. 그러나 오늘은 수학과 연관하여 이야기를 드려보려고 합니다. 수학은 많은 직업과 일상 생활의 필수적인 부분으로 매우 중요한 학문입니다. 우리가 편입이라는 시험에서 수학을 공부하는 이유도 그만큼 중요하기 때문이겠죠. 그런데 수학을 배우는 것은 항상 쉬운일이 아니며, 학생들이 수학을 공부할 때 직면하는 가장 큰 어려움 중 하나는 배운 정보를 유지하고 지속시키는 일입니다. 이것은 에빙하우스의 망각곡선이 작용되는 부분이죠.

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에빙하우스의 망각곡선은 우리가 시간이 지나감에 따라 정보를 망각하는 속도에 대해 그래프로 나타낸 것입니다. 에빙하우스라는 독일의 심리학자가 개발한 것으로, 학습 후 처음 며칠동안은 망각이 빠르게 발생하며 시간이 지나면서 느려진다는 것도 보여줍니다.

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만약 ‘미분’이라는 개념을 저에게 수업을 통해 배웠다고 가정해봅시다. 처음 배우고 저와 같이 문제를 풀면 다 이해가 되고 혼자서도 할 수 있을 것같은 기분이 들죠. 하지만 배운 직후 10분 후 부터 망각이 시작되며 1시간이 지나면 방금 배운 내용임에도 불구하고 디테일한 내용의 50%를 망각한다고 합니다. 그래서 수업이 끝난 직후 바로 그날 배운 내용에 대해 짧게라도 복습을 하는 것이 효과적이라는 말이 괜히 나오는 것이 아니죠!

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위 그림의 빨간색 곡선을 봐주세요. 만약 배워놓고 복습을 안한다면 1달 후 기억량의 80%가 망각됩니다. 그러나 중간 중간 복습을 꾸준히 하여 기억량을 다시 100%로 찍으면 망각의 속도가 더뎌지게 되죠. 수업이 끝나고 10분 후 복습을 하게 된다면 노란색곡선처럼 다시 기억량 100%로 올라갑니다. 이후 노란색 곡선을 보면 알겠지만, 인간은 망각의 동물인지라 다시 기억량이 떨어집니다. 하지만 또 며칠 있다가 복습을 하면 다시 기억량이 100%로 올라가겠죠. 이러한 행동을 반복하는 것이 바로 복습입니다. 망각된 기억을 다시 100%로 끌어올려 기억량을 최대치로 보존하려고 노력하는 것이죠.

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에빙하우스의 망각곡선은 수학 교육에서 누적 복습을 강조합니다. 누적 복습은 정보를 장기 기억에 유지하기 위해 정기적으로 검토하는 과정을 말합니다. 수학은 이전의 배운 개념과 공식을 기반으로 이후 난이도가 높은 개념을 배우게 됩니다. 이전의 배운 개념과 공식을 잊어버리면 앞으로 더 복잡한 개념을 이해하는 데 어려움을 겪게되죠. 따라서 복습은 수학을 공부하는 학생들에게 있어 매우 중요합니다. 수학에서는 공식이나 방정식에서 한 번의 실수로 잘못된 해가 나올 수 있으므로 이전에 배운 정보를 정기적으로 복습해 기억량을 100%로 맞추기 위한 노력이 필수적입니다.

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하나 예를 들어보겠습니다. 제가 이전에 쓴 다변수 미적분학 편미분에 대한 고찰 이라는 칼럼을 보셨나요? 편미분에 대해 이야기 해보자면, 편미분은 미분은 미분인데 독립변수 하나만을 변수로 인정하고 나머지는 상수 취급을 하여 미분하는 방법을 말합니다. 어렵게 이야기했지만 크게 보면 미분 방법 중 하나라는 말이죠. 즉 처음에 배우는 미적분에서 미분을 제대로 복습하지 않고 공부하지 않았다면 당연히 편미분을 공부하는데 있어 큰 어려움을 느끼겠죠.​

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또한 편도함수를 완전히 이해하려면 학생은 먼저 기초수학에서도 배우는 극한, 도함수에 대해서도 충분히 이해해야 합니다. 이러한 기본적인 개념을 일관되게 복습하지 않으면 학생들은 편미분에 대해 이해하기가 어려울 것이며 수학을 공부하는 과정에서 어려움을 겪을 것입니다.

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결론적으로 누적 복습은 수학 학습의 중요한 측면입니다. Ebbinghaus 망각 곡선은 정보의 장기 보존을 보장하는 정기적인 검토의 중요성을 강조합니다. 수학에서 누적 복습은 수학적 개념의 상호 연결된 특성으로 인해 특히 중요합니다. 기본 개념을 지속적으로 검토하고 연습함으로써 학생들은 고급 수학 과정에서 성공할 수 있는 준비를 더 잘 갖추게 됩니다. 다변수 미적분학에서 편미분의 예는 수학에서 누적 복습의 중요성을 보여주는 역할을 합니다. 따라서 학생들은 해당 과목에서 고득점을 하기 위해서 지속적으로 누적 복습해주는 것이 필수적입니다.

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누적복습은 쉽게 말해 계속 누적해서 복습을 하는 것입니다. 편입수학은 시험범위가 정말 넓고 배우는 개념이 정말 많아요. 과목도 4개나 되고, 가르치는 선생님들마다 다르지만 저는 책을 8권이나 사용하죠. 만약 여러분들이 미적분이 끝나고 선형대수학을 배우고 있다고 생각해봅시다. 선형대수학을 배우는 약 한 달 ~ 두 달 사이에 저는 미적분을 적어도 3회독은 하라고 이야기를 해요.

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이렇게 회독을 하라고 하면, 학생들은 의아해합니다. 똑같은 교재로 똑같은 문제를 이미 다 풀어봤던 책을 뭐하러 회독을 하느냐.. 라고 말이죠. 정말 공부를 1도 모르는 학생들이 실수하는 부분이 바로 이 부분입니다. 똑같은 책을 9번, 10번 풀어봐도 늘 모르는 문제, 틀리는 문제가 발생합니다.(아닐 것 같죠? ㅎㅎ.. 10번 풀어보세요.) 제가 쓰는 미적분 교재에는 약 1000문제가 넘게 실려있습니다. 만약 10회독을 한다면 저 1000문제를 단 하나도 빠지지 않고 다 맞추실 자신이 있으신가요? 절대 불가능합니다. 저도 계산실수 하고, 공식이 기억 안나고 아예 어떻게 푸는지 기억이 안나는 문제가 있는데 학생분들은 저보다 더하겠죠.

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솔직히 말해서 만약 같은 책, 같은 문제를 10회독을 한 학생이 있으면, 1000문제 중 실수하는 문제 혹은 모르는 문제, 맨날 푸는데도 헷갈리는 문제는 10문제 내외로 존재할 것입니다. 그럼 990문제는 다 아는건데 그정도면 되지않느냐라고 생각할 수 있는데, 절대 아닙니다. 시험장에서 여러분들이 보게 될 문제는 전부 다 방금 말한 그 못푸는 10문제가 나옵니다. 내가 헷갈리고 자꾸 틀리는 문제는 교수님들이 내기 딱 좋은 문제들이에요. 그런 문제들은 나만 헷갈리는게 아니라 다른 사람도 다 헷갈릴거니 말이죠.

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1000문제 중 10문제 그 1%의 문제를 체화시키고 익숙해지고 외우고 결국 시험장에서 풀고 합격하기 위해서 우리는 복습을 하는 것입니다. 그 1%의 차이때문에 학교가 갈립니다. 그래서 수학에서는 복습과 누적복습이 정말 중요합니다. 똑같은 교재를 계속 반복해서 풀다보면 지겹고 재미없고 힘이듭니다. 하지만 공부라는 것이 원래 지겹고 재미없는거잖아요. 공부를 잘 하고 있다는 반증입니다. 꼭 복습 열심히 해주세요! 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

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이상으로 이번 글은 여기서

마무리 하도록 하겠습니다!

지금까지 송두원T 였습니다.

“편입을 경험했기에, 합격은 튜나입니다.”​

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