(송두원T)
안녕하세요. 튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T입니다. 오늘은 미분법에 이어 그 짝을 이루는 적분법에 대해 이야기해 보려 합니다. 지난 칼럼들에서 기초수학과 미적분 과목에 대해 다뤘었죠! 오늘은 그중에서도 ‘도함수’와 다양한 ‘미분법’에 대해 이야기해 보겠습니다.
편입수학의 미분법, 과연 고등학교 수학과 어떻게 다를까요? 그 핵심을 파헤쳐 드립니다.
편입수학 ‘미분법’ 총정리 (feat. 극좌표, 매개변수 방정식)
[편입수학 미분법 / 도함수 / 극좌표 / 매개변수 방정식]
🤔 편입수학 미분법, 고등학교 때랑 뭐가 다를까?
결론부터 말하면, 내용 자체는 고등학교 수학과 크게 다르지 않습니다. 대학생이라고 해서 기상천외한 미분법을 새로 배우는 것은 아닙니다. 편입 시험에 출제되는 기본 유형들도 고교 시절의 그것과 매우 유사합니다.
차이점은 딱 두 가지입니다. 첫째, 더 엄밀한 수학적 정의가 등장합니다. (하지만 문제만 잘 풀면 장땡인 편입 시험에선 크게 중요하지 않죠.) 둘째, 더 다양한 초월함수와 새로운 좌표 체계가 등장합니다.
고등학교 때 다뤘던 함수가 삼각함수, 로그함수, 지수함수, 유리함수 정도였다면, 대학 수학으로 넘어가며 **역함수, 매개함수, 음함수** 등의 미분법이 추가되고, **극좌표**라는 새로운 개념이 등장하는 것뿐입니다.
🧭 새로운 주소 체계의 등장: 극좌표
편입수학 미분법에서 만나는 가장 큰 변화 중 하나는 바로 ‘극좌표(Polar Coordinate)’라는 새로운 좌표 체계의 등장입니다. 우리가 익숙한 직교좌표계(x, y)가 평면 위 한 점의 ‘주소’를 나타내는 방법이었다면, 극좌표는 그 주소를 나타내는 또 다른 방법일 뿐입니다.
- 직교좌표 (x, y): 원점에서 동쪽으로 x만큼, 북쪽으로 y만큼 가세요!
- 극좌표 (r, θ): 원점에서 θ 각도 방향으로, r만큼 쭉 가세요!
비유하자면… 한국에서 먹는 ‘족발’을 독일에 가서 팔면 ‘슈바인학센’이라고 말해야 하는 것 같은 느낌..? ㅋㅋㅋ 결국 같은 대상을 다르게 표현하는 방법일 뿐입니다. 이 극좌표를 이용하면 동글동글한 하트 모양 그래프 같은 것을 훨씬 쉽게 그릴 수 있습니다.
⚙️ 미분법의 핵심: 그래서 ‘도함수’가 뭔데?
미분법 단원에 들어서면 가장 먼저 ‘도함수’를 배웁니다. 도함수, 미분계수, 순간변화율… 고등학교 때 배웠던 여러 용어들이 생각나시나요? 결론적으로 이 용어들은 거의 다 똑같은 말이니 안심하셔도 됩니다.
기존에 배웠던 극한의 개념이 확장되어, 두 점 사이의 ‘평균 기울기’가 극한으로 나아가 한 점에서의 ‘순간적인 기울기’가 되었을 때, 이를 순간변화율 또는 미분계수라고 합니다. 그리고 이 미분계수를 모든 점에서 일반화한 함수를 바로 도함수라고 부릅니다. ‘도함수를 구하는 과정’이 곧 ‘미분한다’는 의미입니다.
이후에는 중간값 정리, 평균값 정리 등 중요한 ‘정리’들이 등장하지만, 이들을 응용하는 문제는 결국 ‘주어진 구간에서 최대/최소값을 구하는’ 형태로 귀결됩니다. 증명은 복잡해도 내용 자체는 당연한 이야기니 겁먹지 마세요!
🚀 잠깐! 다변수 미적분 맛보기 (매개변수 방정식)
미분법의 끝자락에서는 다변수 미적분학의 개념인 ‘매개변수 방정식’을 살짝 맛보게 됩니다. ‘매개변수’라는 한자어가 괴상하게 생겨서 겁먹는 경우가 많지만, 내용은 별것 아닙니다.
매개변수 방정식이란, 평면 위의 좌표 x와 y를 t라는 새로운 변수를 ‘매개’로 하여 표현하는 것입니다. 가장 쉬운 예가 바로 우리가 어릴 때부터 배운 **’시간(t)에 따른 이동거리’**입니다. “시간 t가 변함에 따라 x 좌표는 이곳에, y 좌표는 저곳에 있다”고 표현하는 것이 바로 매개변수 방정식입니다. 앞에서 배운 미분법들을 차근차근 적용하면 충분히 해결할 수 있으니 너무 걱정하지 마세요!
오늘의 결론
편입 미분법은 고교 과정의 연장선이며, 몇 가지 새로운 함수와 ‘극좌표’라는 새로운 표현법이 추가된 것뿐입니다. 교수님의 친절하지 않은 수업과 흉기처럼 두꺼운 전공 교재만 보고 대학 수학에 미리 겁먹지 않으셨으면 합니다.
“편입을 경험했기에, 합격은 튜나입니다.”
