안녕하세요.

튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T 입니다. ​

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우리가 미분에 대해 고등학교때 배우고 풀었던 기본적인 문제들은 대부분 주어진 괴상한 함수가 미분이 가능한지에 대해 묻는 문제이거나, 주어진 구간에서의 최대/최소 값이 얼마인지 묻는 그런 문제들이었을 거예요. 편입 수학에서도 마찬가지랍니다. 그래도 고등학교에서 배웠던 미분 내용과 차이점은 보다 엄밀한 수학적 정의가 등장하고(이건 교수님이 말씀해 주실 뿐 문제만 풀면 장땡인 편입 시험에선 중요하지 않죠) 보다 다양한 초월함수들이 등장하는 것 정도입니다.

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조금 더 디테일하게 설명해보자면, 고등학교 시절에 미분에 대해 다뤘던 함수는 삼각함수, 로그함수, 지수함수, 유리함수 이정도였다면 대학수학으로 넘어가며 역함수, 매개함수, 음함수 등등의 함수에 대한 미분법까지 추가적으로 배우게 됩니다.

​극좌표의 등장

그리고, 또 한가지 꼽자면 매개변수 방정식 부분에서 극좌표라는 새로운 좌표 체계가 등장해요. 먼저, 극좌표 얘기를 해볼게요. 우리에게 익숙한 직교좌표계는 가운데 중점을 두고, x축으로 얼마만큼, y축으로 얼마만큼 이 값을 좌표로 나타냈었죠? 이렇게 x-y 좌표 값으로 평면 그 어디든 위치를 표시할 수 있었어요.

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직교좌표계와 마찬가지로 극좌표도 평면 전체의 위치를 표시할 수 있는 또다른 방법입니다.마찬가지로 가운데 중점을 두고, ‘반지름 만큼의 길이, x축을 기준으로 한 각도’ 이렇게 반지름과 각도로 좌표를 표현하는 거예요. 정확히 배우기 전까지는 이렇게 글로 아무리 설명드려도 무슨느낌인지 모르실거라서 조금 쉽게 설명하자면 어떤 함수를 직교좌표로 나타내는 방법도 있고, 똑같은 함수를 극좌표로 나타내는 방법도 있다. 정도로 이해하시면 될 것 같아요. 비유를 해보자면.. 한국에서 먹는 족발을 독일가서 팔면 슈바인학센이라고 말해야 하는 것 같은 느낌..? ㅋㅋㅋ

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여튼 우리가 배우게 될 극좌표를 이용하면 동글동글한 하트 그림을 쉽게(?) 그릴 수 있어요. 물론 주로 쓰이는 곳은 이후 전자기학, 물리학 등 삼각함수를 이용할 때 계산이 훨씬 손쉬워지는 많은 분야에서 응용되지요. 극좌표가 중요한 이유는 방금 말한 것처럼 그 실용성에도 의미가 있지만 직교좌표계와 변환이 자유롭다는 점도 있습니다. 이러한 변환 과정이 곧 매개변수 방정식이 되지요.

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​미분법

다시 미분법의 얘기로 넘어가자면 가장 먼저 우리는 도함수에 대해 배우게 됩니다. 도함수는 어려운 한자어지만 결국 미분 계수 자체를 뜻해요. 도함수를 구하는 과정 = 미분한다. 이렇게 말할 수 있습니다. 혹시 고등학교 시절에 배웠던 미분에 대한 용어가 생각이 나시나요? 순간변화율, 미분계수, 도함수, 미분 등등이 다 똑같은 말이니 안심하세요!

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기존에 배웠던 극한의 연장선상으로 평균 기울기가 극한으로 나아가 한 점의 순간적인 기울기가 되었을 때 이를 순간변화율이라고 말하죠. 어느 한점에서의 순간변화율은 미분 계수라고 하고 이를 해당 함수에서 일반화한 함수를 도함수라 합니다. 재미없는 개념일 수 있지만, 이 부분이 바야흐로 미적분의 진짜 시작이지요.

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물론 이제 극한에서 익히 해봤듯이 이 함수에서 도함수가 존재하는지를 두고 미분가능성 자체를 따져보는 지루한 내용들이 등장합니다. 간단히 말해 중간에 뭔가 값이 비어 있거나 점프를 하거나, 혹은 꺾여 있는 부분이 있다면 그녀석은 미분이 안됩니다!! 이렇게 미분한다! 라는 도함수의 개념을 배우고 나서는 실질적인 다양한 함수들에 대해 미분하는 방법이 나오죠. 삼각함수와 지수함수, 그리고 다소 생소할 수 있는 다양한 역함수들까지…

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처음엔 헷갈리고 외울 것들이 많아 보여도 어느덧 함수를 마주하면 기계적으로 미분을 때려버리는 여러분을 마주할 수 있을 겁니다. 이후엔 중간값 정리와 평균값 정리와 같은 중요한 ‘정리’ 들이 등장합니다. 수학적으로는 미적분 전체에 영향을 끼치는 핵심 정리이지만 이를 응용해 문제를 출제할 땐 결국 주어진 구간에서의 최대/최소 값을 묻는 꼴이 되곤 해요. 심지어 정리의 증명은 다소 복잡하지만 내용 자체는 ‘당연한 말 아닌가??’ 싶을 겁니다. 겁먹지 말고 내용을 익히면 금세 넘어가는 부분이에요.

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편입수학 범위 중 다변수 미적분학 과목에 대해 들어보신 적 있나요? 다변수 미적분학도 이름만 다를 뿐 미적분학입니다. 변수가 하나 추가 된 미적분이죠. 다변수 미적분에 대해 디테일한 이야기는 나중에 따로 다뤄드릴 예정이지만 간단히 말해보면 다변수 미적분학에서는 매개변수 방정식과 매개 곡선, 곡률 등에 대해 다루게 됩니다. 이 부분은 등장하는 한자어들이 괴상하게 생겨 겁을 먹는 경우가 많은데 내용 자체는 별 것 아닌 부분이예요.

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매개변수 방정식이란 말은 평면에서 x, y를 표현하는 다른 변수가 존재한다는 말입니다. 표현은 어려운데, 여러분이 어릴 때부터 과학시간에 배워온 ‘시간에 따른 이동거리’ 요 내용이 곧 매개변수 방정식입니다. 시간 t에 따라서, 몇 초 후에 x축에서는 어느 위치, y축에서는 어느 위치라고 말할 수 있으면 매개변수 t를 이용해 x,y를 표현한거예요. 앞서 배웠던 미분법들을 차근차근 적용해 풀어나가면 자연스레 접근 가능한 내용이니 너무 걱정하지 마세요! 막상 배우면 할만합니다.

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이렇게 어느덧 미분법 내용은 마무리되었어요. 다음은 자연스레 역과정인 적분법 내용으로 넘어가 보겠습니다. 모든 것을 알고 있지만 친절하진 않은 교수님의 수업과 방대한 양을 쑤셔 넣어 흉기가 되어버린 전공 교재만을 보고 대학 수학은 너무나 어려운 것 이라고 겁먹지 않으셨으면 합니다. 여러분들의 공부를 곁에서 친절하게 도와드릴게요. 언제든지 상담요청 해주시길 바랍니다. 긴글 읽어주셔서 감사합니다.

이상으로 이번 글은 여기서

마무리 하도록 하겠습니다!

지금까지 송두원T 였습니다.

“편입을 경험했기에, 합격은 튜나입니다.”​