안녕하세요.

튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T 입니다. ​

여러분들 혹시 ‘매클로린급수’ 혹은 ‘테일러급수’에 대해서 배워봤거나 알고있는 정보가 있으신가요? 편입수학 공부를 하면 반드시 배우게 될 두가지 개념입니다! 메클로린 급수와 테일러 급수는 외울 공식이 정말 많아 학생들이 부담을 느끼는 단원이기도 하죠. 하지만 제가 편입을 준비할 때는 매클로린급수를 통해 수학의 신비로움과 수학자들에 대한 경외심이 생겼었습니다. 편입수학을 공부하다보면 솔직히 이게 수학공부를 하는건지, 암기 과목을 공부하는건지 잘 구분이 안갈 때가 있습니다. 이해를 아무리 잘 해도 뭔가를 외우지 못하면 점수를 낼 수 없는 시험 시스템이기 때문에 더욱 그랬던 것 같아요. 그러나 매클로린급수라는 단원을 배울 때는 입시공부에 쪄들어있는 저에게 신선한 충격을 주었습니다. 그래서 오늘은 여러분들도 저와 같은 신선한 충격을 받으실 수 있도록 아주 쉽게 매클로린 급수에 대해서 이야기를 해보도록 하겠습니다!

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​다항함수와 초월함수

함수에는 여러가지 종류가 있습니다. 대표적으로 다항함수와 초월함수가 있죠. 다항함수는 문과친구들도 전부 배우는 함수이기 때문에 다들 아실거라 생각합니다 ㅎㅎ.. 문과친구들도 배우는 만큼 다른 함수들에 비해 다소 ‘쉬운’ 함수 형태이므로 수학자들은 다항함수를 참 좋아했죠. 계산도 쉽고 이해도 쉽기 때문에, 어려운 함수 문제들을 최대한 다항함수 형태로 바꾸어 문제를 풀기위해 노력을 많이 했습니다.

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반대로 초월함수란 이름부터 뭔가 싸..하죠!? 초월함수의 정확한 정의를 설명드리기는 좀 골치아파지지만, 다항함수를 제외하고 여러분들이 알고있는 삼각함수, 지수함수, 로그함수 같은 녀석들이 바로 초월함수입니다.

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테일러급수

앞서 말씀드렸듯이 수학자들은 초월함수를 다항함수로 바꾸어 문제를 풀고 증명을 하기위해 노력을 많이 했습니다. 왜냐? 다항함수가 상대적으로 계산이나 이해가 ‘쉬운’ 함수이기 때문이죠. 그렇다면 수많은 초월함수들을 전부 다 다항함수 꼴로 나타내는 뭔가 획기적인 방법이 없을까..? 고민하다가 나온 녀석이 바로 테일러급수입니다. 테일러 급수는 고등학교때는 들어보지 못하셨을거에요. 대학수학에서부터 등장하기 때문이죠. 테일러 급수의 정의는 아래 그림과 같습니다.

지금 위 정의가 도대체 뭔 말인지 전혀 몰라도 됩니다. 우리는 지금 수학 개념을 배우려고 하는 것이 아니라 칼럼 제목처럼 매클로린 급수의 신비에 대해서 이야기를 할테니 말이죠. 여튼 저 정의가 무엇이든 간에 테일러급수는 초월함수를 다항함수로 표현하고자 하는 방법 중 하나입니다. 위 급수는 ‘테일러’ 라는 사람이 만들어내 테일러 급수라고 이름이 붙혀지게 되었죠.

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​매클로린 급수

테일러 급수가 이해되지 않아도 괜찮습니다. 테일러 급수에 대해 언급한 이유는 매클로린 급수가 테일러 급수의 하위 단계이기 때문에 어쩔 수 없이 이야기를 드린 것입니다. 아래 매클로린 급수의 정의를 보시죠!

위에서 이야기 한 테일러 급수와 매클로린 급수는 거의 똑같이 생겼습니다. 다만 다른점은 바로, 테일러 급수에는 a가 있고 매클로린 급수에는 a=0 이라는 것이죠. 즉 간단하게 말하면 테일러 급수 안에 매클로린 급수가 있고, 테일러 급수 정의에서 a가 a=0의 조건을 만족하면 매클로린 급수가 된다. 라고 알고계시면 되겠습니다 ㅎㅎ

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​매클로린 급수 유도

그러면, 어떤 초월함수를 다항함수로 만들기 위해 테일러 급수와 매클로린 급수라는 방법을 사용하는 것인데 어떻게 초월함수를 다항함수로 표현이 가능할 수 있을까요? 아래 예시를 보시죠.

대표적인 초월함수이자 지수함수 e^x 가 만에하나 다항함수로 표현이 가능하다면, 위 예시처럼 오름차순의 다항함수 꼴로 지수함수를 표현할 수 있을 것입니다. 그렇다면 이때 저 오름차순의 다항함수 a, b, c, d, e 등등을 결정할 수만 있다면 지수함수를 차수가 무한히 증가하는 다항함수의 형태로 표현이 가능해진다는 것을 깨달은 것입니다. 그렇다면 저 a, b, c 들은 어떻게 구할 수 있을까요? 일단 위에 예시에서 x에 0을 전부 대입해봅시다. 좌변과 우변이 등호로 이루어진 항등식이므로 x=0을 둘 다 대입하였을 때도 위 식을 등호가 성립할 것입니다.

양 변에 0을 대입하면 좌변은 e^0만 남고 우변은 a만 남습니다. 따라서 등호가 성립해야 하니, e^0=1=a가 됩니다. 우리는 이렇게 지수함수 e^x를 다항함수로 나타내는 과정에 있어서 상수항을 찾아내었습니다. 이제 나머지 b, c, d 등등을 더 추가적으로 구해보죠. 여기서 바로 ‘미분’의 개념이 필요합니다. 지수함수 e^x는 미분을 해도 그대로 e^x인 걸 이과생들은 전부 기본적으로 알고있죠? 그 개념을 적용해볼게요.

e^x를 미분해도 e^x로 그대로 동일하니 우변만 미분이 될 것입니다. 다항함수의 미분을 통해 우변을 결정했어요. 그리고 여기서 아까 했던 방법처럼 x에 0을 대입합니다

1번 미분 후 0을 대입하면 좌변은 e^0만 남고 우변은 아까처럼 b만 남습니다. 그렇다면 e^0=1=b가 되겠네요. 계속 미분을 하고, x=0을 대입하고 미분하고 0대입하고를 계속 반복해줍니다.

위 과정을 통해 미지수 값을 찾아보면 a=1, b=1, c=1/2, d=1/6, e=1/24 이 나오게 됩니다. 이때 분모에 있는 숫자들에 대해 어떠한 규칙이 찾아지게 됩니다. 무엇이 보이시나요? 바로 펙토리얼입니다. 1, 1, 2, 6, 24 는 각각 0!, 1!, 2!, 3!, 4! 을 나타내요. 당연히 미분을 하면서 지수자리에 있는 숫자가 하나씩 앞으로 떨어지니 펙토리얼 형태가 보이게 되는 것이죠. 그렇다면 이렇게 찾아낸 숫자들을 통해 지수함수 e^x를 다항함수 꼴로 변환해보겠습니다.

드디어 초월함수인 지수함수 e^x를 다항함수 꼴로 변환하는데 성공하였습니다. 이것이 바로 매클로린 급수입니다. 위에서 a, b, c, d,e 를 찾아내는 과정에 있어서 미분하고 0대입하고 미분하고 0대입하고를 반복하였죠. 여기서 숫자 0의 역할이 아주 중요하게 작용합니다. 그래서 테일러급수에서 a=0일 때 라는 조건이 붙으면 매클로린 급수가 된다 라는 것도 여기서 파생 되어진 정의죠. 이 방법만 있는건 아닙니다. 사실 매클로린 급수 공식의 유도 방법은 수도없이 많아요. 하지만 여러분들이 제일 이해하기 쉽고 직관적인 방법은 제가 오늘 설명드린 방법이 아닐까 하네요 ㅎㅎ.. 이해가 되셨다면 좋겠습니다. 이런 개념들에서라도 수학적인 호기심을 느껴야 힘든 수험생활을 하는데 조금이나마 원동력이 되지 않을까 하여 다소 어려울 수 있지만 ‘매클로린 급수’에 대한 개념을 설명드려봤습니다! 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

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이상으로 이번 글은 여기서

마무리 하도록 하겠습니다!

지금까지 송두원T 였습니다.

“편입을 경험했기에, 합격은 튜나입니다.”​