튜나's 편입 /

편입수학 삼각함수 공부법, 필독! #2

안녕하세요~!

 

이번 시간에는 지난 시간에 이어 삼각함수에 대한 이야기를

마무리 짓겠습니다.

 

삼각함수를 어려워하기 시작하면

공대 수학 자체가 멀게 느껴질 수밖에 없습니다.

 

하지만 우리가 어디서부터 삼각함수가 힘들었는지,

똘똘이 위인들은 왜 이런걸 만들고 활용했는지

다시금 생각해보며 내용을 살펴봅시다.

 

 

우선 다시 직각삼각형에서의 정의를 이용함 삼각함수의 값부터 생각해봐요.

여러분은 가장 기본적으로 30도, 45도, 60도, 90도라는 특수각에 대한

삼각함수 값들을 알고 계실 거예요!

이러한 값들도 단순히 암기하기 보다는

양변의 길이가 1이고 빗변이 루트2인 직각삼각형(45도)과

양변의 길이가 1, 루트3이고 빗변이 2인 직각삼각형(30도, 60도)를

생각하시면 쉽게 이해하실 수 있습니다.

 

이후 우리를 많이 헷갈리게 하는 문제들은

삼각함수의 각도가 확장되어서 둔각이 나올 때지요.

이를 위해서 각종 삼각함수의 성질과 공식들을 무작정 외우곤 합니다…ㅠㅠ

 

하지만 이러한 삼각함수의 확장은,

위와 같이 단위원과 그래프에서 생각하시는 것이 훨씬 쉽습니다.

다음 그림과 같이 말이지요!

 

 

 

단위원을 통해 삼각함수를 생각하면,

삼각함수 공식에서 단골로 등장하는

사인 제곱과 코사인 제곱의 합이 1이란 사실도

피타고라스의 정리를 통해 직관적으로 바로 알 수 있습니다.

빗변의 길이가 1인 직각삼각형 이야기니까요.

 

 

이 정도까지 얘기는 사실 삼각함수에 있어서

무척 기본적인 내용들입니다.

고등학교 수학 앞부분에서 다뤘던 내용이지요.

 

이제 고등학교 수학에서도 선택 미적분 과목에 들어가면

삼각함수의 극한과 미적분을 배우기 전에

조금 더 외울 것들이 많아진 강해져서 돌아온 삼각함수를

만나볼 수 있습니다.

 

삼각함수의 덧셈정리를 시작으로

그를 응용한 배각, 반각 공식, 그리고 곱을 합과 차로

또는 합과 차로 이루어진 삼각함수를 곱 형식으로 바꾸는

페이지를 가득 메우는 삼각함수 공식들이 등장하게 됩니다.

 

이러한 공식들의 문제는 그 증명 방법이 다소 한정적으로 제시된다는 것입니다.

여러분이 이 공식들을 마주하는 시점에서

공식들을 증명할 수 있는 방법은 단위원을 통한 증명 정도밖에 없습니다.

교육과정 상 뒤쪽 혹은 별개 단원인 벡터나 미분을 통해서도 충분히 증명할 수 있어요!!

그리고 무엇보다 오일러 공식을 이용하면

증명이라고 할 것도 아닌, 단순하고 당연한 이야기가 되어 버립니다.

 

 

저번 시간, 무척 중요한 삼각함수의 공식이라고 말씀드린

오일러 공식은 다음과 같습니다.

삼각함수만 있어도 어질어질한데, 지수함수와 복소수까지 함께 있다니

이게 무슨 혼종이란 말인가… 싶으시다면 너무 걱정하지 마세요.

 

지수 함수에서 우리는 그 정의역을 계속해 확장해 나갔습니다.

처음엔 곱셈의 반복을 나타내는 거듭제곱에서 시작해,

그 범위를 실수의 영역까지 확장했어요.

그것이, 이제 대학 수학과정에 이르러 복소수의 영역으로 확장된 모습입니다.

 

복소수와 복소 지수의 의미에 대해

말씀드리자면 또 워낙 많은 얘기가 있기 때문에,

이 글에서는 간단하게 위와 같이 오일러 공식을 소개하고 넘어갈게요.

 

 

오일러 공식의 활용에 대해서는 간단히 말씀드리겠습니다.

우선은 앞서 언급한 바와 같이

삼각함수의 다양한 정리들을 손쉽게 이해하고 증명할 수 있습니다.

삼각함수의 합과 곱들이 지수함수에서 다뤄지게 되거든요.

 

하지만 오일러 공식의 가장 큰 가치는 바로

푸리에 해석과 전자공학 부분입니다.

만약 전기과를 진학하신다면 전자공학 회로이론 등

과목을 막론하고 모-든 전공 과목에서 오일러 공식의 표현을

볼 수 있을 것이라고 확신합니다.

 

사실 여러분이 이미 느끼셨듯이

삼각함수는 계산하기 편한 함수가 아닙니다.

삼각함수의 주기성을 유지한 채 다루기 쉬운 꼴로 변환하게 하는 것!

이것이 바로 오일러 공식의 의미입니다.

 

 

마지막으로, 삼각함수의 미적분에 대해서는

안타깝게도 어느 정도 외울 것들이 있다는 사실을 부정할 수 없어요.

 

미분에 있어 도함수를 구하는 정의에 따라

극한을 취하면서 미분 계수를 구해내는 방법은

절대 추천 드릴만한 방법이 아닙니다.

 

몇몇 도함수와 역도함수(적분) 꼴은 외우고 있어야 해요!

그리고 미적분에 이르러서는 단순히 삼각함수의 미적분 꼴보다는

다른 함수들과 함께 이루어지는 다양한 미분법/적분법들을

풀어내는 연습이 중요합니다.

 

 

삼각함수에 대해 다양한 이야기를 해봤는데,

다시금 정리하자면 삼각함수는 주기성을 위해 사용하는 함수입니다.

 

우리가 오랜 시간 고통받으며 함께하는 삼각함수를

너무 미워하지 마시고 따뜻하게 품어주세요.

 

외울 것들이 무척이나 어마어마하게 보이는 삼각함수지만

그 본질을 살펴보면 사실 무작정 외워야 하는 내용이 결코 아니랍니다!

 

다음 시간에는 이러한 삼각함수를 응용한

푸리에 변환에 대해 말씀드리겠습니다!

 

감사합니다~