안녕하세요.

튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T 입니다.  

오늘은 다변수미적분학의 1단원인 ‘편미분’에 관한 이야기를 해보려고 합니다~ 매번 여러분께 사실, 우리가 고교 수학을 잘 알고 있다면 편입 시험의 미적분 과정에서 새롭게 배우는 개념은 별로 없다고 말씀드리고 있지만, 다변수미적분부터는 아예 생전 처음배워보는 과목일 것입니다. 바로 대학교 수학이기 때문이죠! 드디어 대학에 와서 처음 배우게 되는 고-오급 내용이 나오네요 ㅎㅎ

하지만 개념도, 내용도 어렵지 않아요! 사실 편미분 이름만 봐도 알겠지만, 이름부터가 미분입니다. 일변수 미적분과 뿌리가 같기에 일변수 미적분을 잘 한 학생이라면 무난하게 따라올 수 있어요. 기존 방법들과 다를 것이 하나도 없지만 가장 중요한 핵심이 되는 것은 다변수함수를 이해하는 것입니다. 차근차근 이야기를 시작해볼게요!

다변수함수

지금까지 배우고 다뤄온 함수들은 변수 하나로 이루어졌지만, 이제 다변수함수라는 개념이 등장하게 됩니다. 다변수 함수란, 말 그대로 함수에서 변수가 1개였던 기존과 달리 2개 이상의 변수로 이루어진 함수입니다.

혹시, 어린 시절 과학 시간에 배웠던 변인 통제와 같은 단어들이 기억 나나요? 과학 실험을 할 때, 실험 환경을 통제하는 것은 무척 중요합니다. 우리가 변화시키면서 그에 따른 반응을 알아보려는 물리량은 무엇이고, 유지해야 하는 물리량은 무엇인지 선택하는 방법에 대해 배우게 되지요. 공대에 진학하시면 학과를 불문하고 다양한 실험 과목도 들으셨고, 듣게 되실 겁니다. 실험 설계를 잘 해서 결과에 영향을 미치는 변수가 1개라면 분석도 그만큼 간단하겠지만, 우리의 세상은 그렇게 호락호락하지 않기 때문에 대부분 다양한 변수들에 대해 동시에 고려를 하게 되지요! 다변수 함수는 바로 이런 상황을 수식으로 표현한 것입니다.

다변수함수에 적용되는 미적분이 바로 편미분과 중적분입니다. 이때 가장 주의해야할 부분은, 미분과 적분을 수행하는 변수를 꼭 염두에 두어야 하는 점이예요. 그럼, 이러한 주의점을 상기하며 편미분에 대해 이해해봅시다.

지난 시간에 말씀드린 고계도함수의 차이부터 말씀드릴게요. 고계도함수는 기존의 일변수함수에서 도함수를 계속해 구해 나가는 개념이었죠. 하지만,다변수함수에서의 편미분은 조금 다릅니다. 미분을 반복해서 수행한다는 사실 자체는 동일해요!! 그러나 미분을 수행할 때마다 미분 대상이 되는 변수가 달라진다! 이것이 편미분의 핵심입니다.

그럼 미분 대상인 변수 말고 다른 변수는 어떻게 하냐고요? 그냥 무시하는 거죠! 나머지 변수는 변수가 아닌 상수 취급을 하는 것입니다. 나머지 변수를 상수로 생각한 후에, 미분을 하는 방법 자체는 기존과 동일합니다! 복잡한 다변수 함수들도 손쉽게 미분하실 수 있을 거예요.

편미분의 예시

이해를 돕기위해 예시를 하나 들어보겠습니다. 지난번에 z=2x+2y를 어떻게 미분할 것인가에 대한 예시를 말했던 것이 기억나 가지고 왔어요. 자 이 함수 z=2x+2y는 변수가 x, y 2개로 이루어진 2변수 함수입니다. z는 x와 y의 값에 의해 자동으로 결정되기 때문에 변수로 치지 않습니다. y=f(x) 일변수 함수도 x의 값에 따라 y값이 결정되니 변수를 하나라고 말하는 것과 같은 논리이죠. 여튼 z=2x+2y를 미분하려고 하니 변수가 2개라서 d/dx를 해야할지, d/dy를 해야할지 가늠이 안됩니다.

이때 사용하는 것이 편미분 개념이라고 했죠. z=2x+2y 함수를 d/dx 하기위해서, 즉 x로 편미분하기위해서는 2y라는 항을 어떻게든 처리를 해줘야합니다. 처리방법은 간단합니다. x로만 미분을 해줄거기 때문에 2y는 상수취급을 해주는 것이죠. 그렇다면 z=2x+2y를 d/dx하면 결국 z’=2만 남겠네요. 2y는 상수처리가 되었고, 상수를 x로 미분하면 0이 되기 때문입니다. 좀 어려웠나요? 괜찮습니다. 배우면 쉬워요 이해가 안갔으면 넘어가도 됩니다!

그렇다면 z=xy+3x+5y 라는 함수를 x로 편미분하기 위해서는 어떻게 해야할까요? 잠깐 글 읽는 것을 멈추고 한번 풀어보세요.

z=xy+3x+5y를 x로 편미분 한다는 말은 x만을 변수로 인정하겠다는 말입니다. 즉 y는 변수가아니라 상수취급을 한다는 소리죠. 그렇다면 z=xy+3x+5y 에서 y를 상수로 두고, x로만 미분하면, z’=y+3+0 이 됩니다. 맞추셨나요?

하나의 예시만 더 들어보겠습니다. 편미분은 다른 모든 변수를 일정하게 유지하면서, 함수의 한 변수가 어떻게 변하는지 이해하는 데 도움이 되는 미적분학의 한 유형입니다. 공기를 채우고 있는 풍선이 있다고 가정해 봅시다. 풍선의 부피는 높이(h)와 너비(w)의 두 가지 변수에 따라 달라집니다. 풍선을 공기로 채울 때 풍선의 부피가 어떻게 변하는지 알고 싶다면 편미분을 사용해야 합니다. 변수가 두 개이기 때문에 양쪽 다 고려를 해야하는 것이죠. 이 경우 높이(h)에 대한 부피(V)의 편도함수는 너비를 일정하게 유지하면서 높이를 증가시키면서 풍선의 부피가 얼마나 변하는지 파악하는데 사용됩니다. 마찬가지로 너비(w)에 대한 부피(V)의 편도함수는 높이를 일정하게 유지하면서 너비를 늘릴 때 풍선의 부피가 얼마나 변하는지 알 수있죠.

오늘은 저번보다는 다소 어려운 내용으로 찾아뵙게 되었네요. 이해가 되셨다면 좋겠습니다 ㅠ.. 다음에 누군가에게 편미분에 대해 말을해야 할 때면, 그것이 함수의 한 부분이 어떻게 변하는지를 이해하는 동시에 다른 모든 부분은 일정하게 유지하는 방법이라고 전해주세요! 그런걸 물어보는 경우가 있긴 하려나..? ㅋㅋㅋㅋ 여튼 긴 글읽어주시느라 고생하셨습니다!

이상으로 이번 글은 여기서

마무리 하도록 하겠습니다!

지금까지 송두원T 였습니다.

“편입을 경험했기에, 합격은 튜나입니다.”