미분 실수 8가지 — 틀린 풀이를 고치는 연습
공식 암기보다 ‘어디에서 한 항을 빠뜨렸는가’를 확인하는 자료입니다. 모든 식은 정의되는 실수 범위에서 다룹니다. 삼각함수의 각은 라디안입니다.
## 8가지 실수와 올바른 식
1. 합성함수의 안쪽 미분 누락: d/dx (3x+1)^4 = 12(3x+1)^3. 바깥 4제곱 미분에 안쪽 미분 3을 곱합니다.
2. 곱을 각각 미분해 곱하기: d/dx [x² sin x] = 2x sin x + x² cos x. (fg)' = f'g + fg'입니다.
3. 몫의 분모 제곱 누락: d/dx [x/(x+1)] = 1/(x+1)², x≠-1. 분자 (x+1)-x를 계산합니다.
4. 로그에서 안쪽 함수 누락: d/dx ln(x²+1) = 2x/(x²+1).
5. 지수함수 상수 누락: d/dx 2^x = 2^x ln 2. e^x와 같은 계수라고 생각하지 마세요.
6. 절댓값을 모든 점에서 미분 가능하다고 가정: |x|의 도함수는 x>0에서 1, x<0에서 -1이며 0에서는 좌우 미분계수가 달라 미분 불가능합니다.
7. 접선의 기울기만 구하고 점을 누락: y=x², x=2이면 점 (2,4), 기울기 4이므로 y-4=4(x-2), 즉 y=4x-4입니다.
8. 음함수에서 y의 미분 누락: x²+y²=1을 미분하면 2x+2y y'=0. y≠0인 점에서 y'=-x/y입니다.
## 6문항 직접 풀기
① d/dx (x²+2)^3
② d/dx [x e^x]
③ d/dx [(x-1)/(x+1)]
④ d/dx ln(3x), x>0
⑤ y=x³의 x=1에서 접선
⑥ f(x)=|x-2|는 x=2에서 미분 가능한가?
## 정답·중간 과정
① 3(x²+2)²·2x = 6x(x²+2)².
② 1·e^x+x·e^x = (x+1)e^x.
③ {(x+1)-(x-1)}/(x+1)² = 2/(x+1)², x≠-1.
④ (1/(3x))·3=1/x. 정의역 x>0을 먼저 확인합니다.
⑤ 점 (1,1), 기울기 3 → y-1=3(x-1) → y=3x-2.
⑥ 불가능. x<2에서 기울기 -1, x>2에서 기울기 1이므로 2에서 일치하지 않습니다.
## 답안 점검표
□ 정의역과 분모가 0이 되는 값을 확인했다.
□ 합성함수에서 안쪽 미분을 곱했다.
□ 곱과 몫의 미분을 공식대로 전개했다.
□ 접선에서는 좌표와 기울기를 둘 다 썼다.
□ 미분 불가능 가능성이 있는 경계점을 따로 확인했다.
```
내가 빠뜨린 항 또는 조건:
다음 문제에서 먼저 표시할 부분:
숫자를 바꿔 다시 만든 문제:
검산 결과:
```
