적분 방법 고르기 6제 — 치환·부분적분·부분분수
문제를 본 뒤 바로 계산하기보다 ‘왜 이 방법을 쓰는지’를 한 줄 적어 보세요. 부정적분 답에는 적분상수 C를 붙이고, 마지막에 미분해 원래 함수가 되는지 확인합니다.
## 1. 안쪽 미분이 곁에 있는가
문제: ∫2x cos(x²) dx
u=x², du=2x dx로 놓으면 ∫cos u du = sin u+C.
정답: sin(x²)+C.
고른 이유: x²의 미분 2x가 곱해져 있어 치환하면 식이 단순해집니다.
검산: d/dx sin(x²)=2x cos(x²).
## 2. 분자의 모양이 분모의 미분인가
문제: ∫ x/(x²+1) dx
u=x²+1이면 du=2x dx이므로 1/2 ∫du/u.
정답: (1/2)ln(x²+1)+C. x²+1>0이라 절댓값 없이 썼습니다.
흔한 실수: 계수 1/2를 빠뜨림. ∫1/u du는 일반적으로 ln|u|+C입니다.
## 3. 한쪽을 미분하면 더 간단해지는가
문제: ∫x e^x dx
u=x, dv=e^x dx로 두면 du=dx, v=e^x.
∫u dv=uv-∫v du이므로 x e^x-∫e^x dx.
정답: (x-1)e^x+C.
검산: e^x+(x-1)e^x=x e^x.
## 4. 곱이 보이지 않아도 부분적분이 가능하다
문제: ∫ln x dx, x>0
ln x·1로 보고 u=ln x, dv=dx. du=dx/x, v=x.
정답: x ln x-x+C.
흔한 실수: ln x를 1/x로 바꾸는 것은 미분이지 적분이 아닙니다.
## 5. 분모를 인수분해할 수 있는가
문제: ∫1/{x(x+1)} dx, x≠0,-1
1/{x(x+1)}=1/x-1/(x+1).
정답: ln|x|-ln|x+1|+C. 0과 -1을 가로지르지 않는 각 구간에서 적용합니다.
검산: 1/x-1/(x+1)=1/{x(x+1)}.
## 6. 정적분에서 치환하면 경계도 바꾼다
문제: ∫₀¹ 2x/(1+x²) dx
u=1+x²이면 x=0에서 u=1, x=1에서 u=2.
∫₁² du/u = ln 2.
흔한 실수: 적분변수를 u로 바꾸고 경계를 그대로 0,1로 남겨 둠.
## 해설을 가리고 다시 풀 3문항
A. ∫3x² cos(x³) dx
B. ∫x sin x dx
C. ∫₀¹ x/(1+x²) dx
정답: A sin(x³)+C. B -x cos x+sin x+C. C (1/2)ln 2.
B는 u=x, dv=sin x dx로 두어 v=-cos x임을 확인하세요.
## 방법 선택 카드
```
안쪽 함수와 그 미분이 함께 있는가:
미분하면 단순해지는 인수가 있는가:
분모를 인수분해할 수 있는가:
정적분의 새 경계:
미분 검산:
```
