행렬 계산 4제 — 곱의 순서·역행렬·연립방정식·고유값
2×2 행렬로 계산 원리를 확인하는 입문 자료입니다. 대괄호 안의 세미콜론(;)은 행이 바뀐다는 뜻입니다. 예: [1,2; 0,1]은 첫 행이 1,2이고 둘째 행이 0,1입니다.
## 1. AB와 BA는 같은가
A=[1,2; 0,1], B=[2,0; 1,3].
AB의 (1,1) 원소는 1×2+2×1=4입니다. 같은 방식으로 계산하면 AB=[4,6; 1,3].
BA=[2,4; 1,5]. 따라서 AB≠BA입니다.
점검: A의 ‘행’과 B의 ‘열’을 내적합니다. 같은 위치 원소끼리 곱하는 연산과 혼동하지 마세요.
## 2. 역행렬을 구하고 확인하기
C=[2,1; 1,1]. det C=2×1-1×1=1.
2×2 역행렬 공식은 det가 0이 아닐 때 [a,b; c,d]⁻¹=(1/(ad-bc))[d,-b; -c,a].
C⁻¹=[1,-1; -1,2].
검산: CC⁻¹=[2-1,-2+2; 1-1,-1+2]=[1,0; 0,1].
비교: [1,2; 2,4]의 행렬식은 0이라 역행렬이 없습니다.
## 3. 연립방정식에 적용하기
2x+y=5, x+y=3.
앞의 C를 이용하면 C[x;y]=[5;3].
[x;y]=C⁻¹[5;3]=[5-3;-5+6]=[2;1].
대입 확인: 2×2+1=5, 2+1=3.
역행렬이 없다고 연립방정식에 무조건 해가 없는 것은 아닙니다. 같은 식이 반복되면 해가 무수히 많을 수도 있어 상수항까지 살펴야 합니다.
## 4. 고유값과 고유벡터
D=[2,1; 0,3]. det(D-λI)=(2-λ)(3-λ), 따라서 고유값은 2,3입니다.
λ=2: (D-2I)v=0에서 y=0 → 고유벡터는 [1;0]의 0이 아닌 배수.
λ=3: (D-3I)v=0에서 -x+y=0 → 고유벡터는 [1;1]의 0이 아닌 배수.
검산: D[1;1]=[3;3]=3[1;1]. 영벡터는 고유벡터에 포함하지 않습니다.
## 혼자 풀어 볼 3문항
① E=[3,0; 0,2]의 역행렬은?
② F=[1,1; 0,1], v=[2;3]일 때 Fv는?
③ G=[4,0; 0,-1]의 고유값은? [0;2]는 어떤 고유값에 대응하는가?
정답: ① [1/3,0; 0,1/2]. ② [5;3]. ③ 4,-1이며 [0;2]는 -1에 대응합니다.
## 실수 체크
□ 곱이 가능한 행렬 크기인지 먼저 확인했다.
□ AB와 BA를 임의로 바꾸지 않았다.
□ 역행렬 전에 행렬식이 0인지 검사했다.
□ 고유벡터에서 영벡터를 제외했다.
□ 구한 결과를 원래 식에 대입했다.
