극한·급수 7제 — 조건 없이 공식을 쓰는 실수 잡기

답이 익숙해 보여도 적용 조건을 말할 수 있어야 합니다. 여기서는 기본 극한과 급수 판별을 직접 작성한 7문제로 확인합니다. ## 1~3. 극한 ① lim(x→0) sin x/x = 1. x는 라디안입니다. 분자와 분모에 x=0을 그대로 대입한 0/0은 값이 아니라 계산을 더 해야 한다는 형태입니다. ② lim(x→0) sin(3x)/x = 3. sin(3x)/(3x) ×3으로 바꾸고 3x→0을 이용합니다. ③ lim(x→2) (x²-4)/(x-2) = 4. x≠2에서 (x+2)로 약분할 수 있습니다. 원래 함수가 x=2에서 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있습니다. ## 4. 좌우 극한이 다른 경우 lim(x→0) |x|/x는 존재하지 않습니다. x>0에서는 1, x<0에서는 -1입니다. 한쪽 값만 계산하면 결론이 잘못됩니다. 복습 질문: lim(x→0⁺) |x|/x라면? 답은 1입니다. 0⁺는 오른쪽 접근만 뜻합니다. ## 5. 등비급수의 시작 지수 Σ(n=0부터∞) (1/3)^n = 1/(1-1/3)=3/2. Σ(n=1부터∞) (1/3)^n = (1/3)/(1-1/3)=1/2. 공식 a/(1-r)는 |r|<1일 때 적용하며 a는 실제 첫 항입니다. 시작 지수를 먼저 보세요. ## 6. 항이 0으로 가면 급수도 수렴할까 Σ(n=1부터∞) 1/n은 발산합니다. 1/n→0은 수렴의 필요조건일 뿐 충분조건이 아닙니다. 묶어 보면: 1/3+1/4≥1/2, 1/5+…+1/8≥1/2, 다음 8개도 합이 1/2 이상입니다. 이런 묶음이 계속되어 부분합이 한없이 커집니다. 반면 일반항이 0으로 가지 않는 급수는 수렴할 수 없습니다. 예: Σ n/(n+1)은 일반항이 1로 가므로 발산합니다. ## 7. 비율판별에서 결론을 낼 수 없는 값 Σ 1/n²의 비율 a(n+1)/a(n)=n²/(n+1)²→1. 비율의 극한이 1이면 비율판별로는 결론을 내릴 수 없습니다. ‘1이므로 발산’이 아닙니다. 이 급수는 수렴합니다. n≥2에서 1/n²≤1/{n(n-1)}=1/(n-1)-1/n이고, 오른쪽 급수는 망원합으로 유계입니다. ## 마무리 퀴즈 A. lim(x→0) sin(5x)/(2x)는? → 5/2. B. Σ(n=2부터∞) (1/2)^n은? → 첫 항 1/4, 공비 1/2이므로 1/2. C. 일반항의 극한이 0인 급수는 모두 수렴한다? → 거짓. 조화급수 1/n이 반례입니다. D. 비율판별 결과가 1이면? → 다른 판별법을 검토합니다. ``` 문제의 시작 지수 또는 접근 방향: 사용한 공식의 조건: 조건을 확인한 식: 반례가 떠오르는지: ```