안녕하세요~~~

오래 기다리셨습니다!!

오늘은 드디어 본격적으로 대망의 푸리에 급수와

변환에 대해 이야기 드리겠습니다!!

푸리에 급수와 변환은 정말 할 이야기가 많은 단원이지요.

저번에도 잠깐 언급했듯이

푸리에 급수는 여러분이 공대에 진학한 이상,

여러 전공과목을 불문하고 질리도록 항상 마주치게 될겁니다.

단순히 편입 과정의 공업 수학 책에서

잠깐 보고 스쳐 지나가는

그런 내용이 결코 아니예요!

수학적인 배경과 응용 범위를 비롯해

수식적인 분석과 여러 푸리에 시리즈들에 대해

얘기를 풀어 나간다면 너무나 양도 많고

수학적으로도 어려워질 것이기에….

엄청 간단하게 설명 드릴게요.

특히 우리의 목적인 편입 수학에 초점을 맞춰서 말이지요.

여러분들이 푸리에 급수를 접하게 된 것은 언제인가요?

보통 대학 수학에서는

아무래도 선형대수 뒤 편미분 방정식 앞에서

처음 마주치게 되었을 거예요.

공업 수학 단계에서 깊이 다루지 않을 수는 있지만,

푸리에 급수와 변환은 그 바탕이 되는 기저 함수가

선형대수의 직교성을 만족하고 이를 적용해

고속푸리에변환(FFT) 등의 실질적인 활용처도 배울 수 있기에

선형대수 뒷부분에 나오게 됩니다.

또한 푸리에 변환은 비슷한 형태의 라플라스 변환과 함께

편미분 방정식을 풀이하는 방법이 되기 때문에

편미분 방정식 앞에서 다루게 됩니다.

이렇게, 낯선 단원이 등장하는 순서만 보더라도

어떤 개념들을 바탕으로 하고 어떻게 활용되는지

조금은 힌트가 되지요.

물론 여러분이 편입 이후에 전공 과목으로 들어간다면

더욱 무궁무진한 활용법들을 익히게 될 것입니다.

특히 전기전자 관련 학과에 진학을 염두에 두고 계신다면

여러분은 학부과정 내내 푸리에와 영혼의 단짝이 될 수 있답니다!

푸리에 급수와 변환은 특히 주파수의 분석, 전파 통신, 영상처리, 데이터 압축

등등의 분야에서 활용되거든요!

푸리에 변환과 적분은

이렇듯 이후 훨씬 심화된 내용들을 다루기 때문에

사실 공업수학과,

특히 편입 수학 시험 문제에서 다루는 내용은

정말 얼마 안되는 부분이예요.

하지만!

우리는 언제나 교수님 선생님들이 쉽다고 강조하는 부분조차

한없이 어려울 따름이고…

푸리에 급수와 변환도 처음 접하면

그 생긴 모습에서부터 압도당하기 마련이지요.

겁먹지 말고 차근차근 어째서 우리는 왜 그렇게

푸리에 변환과 적분을 애용하는지!

그 이유부터 시작하도록 하죠.

아! 그 전에 용어의 정의부터 짚고 갈게요!

급수(Series)는 무한합으로 구성되고,

변환(Transform)은 적분으로 구성됩니다.

앞서 등장한 테일러 급수에서는 ‘급수’만 있었지요?

반면 푸리에는 급수와 변환, 두 가지 형태를 모두 가지고 있어요!

비슷해 보이지만, 이 둘의 역할은 사뭇 다르답니다.

푸리에 급수와 변환은 단순히 그 형태의 변화 뿐 아니라

의미의 변화도 크게 지니고 있어요!

또한 푸리에 변환은 향후 등장하는 라플라스 변환과도

몹시 밀접한 관계를 가지고 있습니다.

이미 공부해보신 분은 아시겠지만

두 적분 변환은 생긴 것 자체가 무척 닮았지요.

푸리에와 라플라스는 서로가 서로의 변형판이라고 할 수 있지만

그 약간의 차이가 각자 주로 사용되는 영역을 구분 짓게 된답니다.

이 부분들은 차차 말씀드리도록 하겠습니다.

우선 오늘은 푸리에 급수부터 시작합시다!

잠깐 앞서 다룬 테일러 급수를 복습해 볼까요.

테일러 급수는 기본 다항식을 독립적으로 사용해서

하나의 다항식으로는 표현할 수 없었던

삼각함수, 지수/로그 함수 등을 근사하는 방법이었습니다.

푸리에 급수도 기본 개념은 마찬가지예요!

다만 푸리에 급수는

기본 함수로 다항식이 아닌 삼각함수를 사용합니다.

아니 삼각함수도 충분히 복잡한데 기본 함수라니요!!!

라는 생각을 하실지도 모르겠지만…

삼각함수는 여러 측면에서 다루기 좋은 기본 함수입니다!

그럼 왜 우리는 삼각함수를 바탕으로 함수를 표현하고자 하는지,

그리고 어떤 함수가 표현 대상이 되는지 알아봅시다.

지난 시간, 삼각 함수의 기초에 대해 말씀드리면서

삼각 함수에 있어서 가장 중요한 성질이 뭐라고 했었죠?

네! 바로 주기성입니다!!

우리가 공대에 진학해 연구하고자 하는 것들은

자연 현상의 수학적 해석인 경우가 많지요.

그리고 그 중 많은 것들은 주기성을 가지고 있습니다!

가장 대표적으로 왕복운동, 진동, 그리고 소리와 빛이 있지요.

이러한 ‘파동’과 관련된

모든 물리적 현상이 주기성을 지니고 있습니다.

그래서 푸리에 급수가 널리 쓰이는 거예요!

기존의 익숙한 다항함수로는

이렇게 주기성을 갖는 함수들을 표현할 수가 없어요 ㅠㅠ

테일러 급수로는 표현이 불가능 하단 얘기입니다.

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우리는

계속 반복해서 나타나는 그래프를 표현하고 싶은 것이니까요.

그런 그래프를 표현하기 위해서 우리는 삼각함수를 사용합니다.

아래와 같이, 주기성을 지닌 함수라면

삼각함수의 합으로 표현 가능 하다는 것이

바로 푸리에 급수입니다.

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