안녕하세요.

튜나편입에서 수학을 가르치고 있는 송두원T 입니다.

오늘은 미적분학의 기본 정리에 대해 이야기해 볼까 합니다. 이전까지 썻던 글들 대부분은 수학에 대해 아무것도 모르는 학생분들이 봐도 이해하는데 크게 어려움이 없는 가벼운 주제를 다루며 편입 수험생들이 도움을 받을만한 이야기 위주로 작성을 했던 것 같아요! 그런데 이번엔 조금 난이도를 올려 설명을 하면서 글을 전개해보려 합니다 ㅎㅎ 다 읽으라고는 말씀드리지 않겠습니다! 그냥 보다가 ‘뭔 소리야’ 소리 나오면 넘기고 다음 글 읽어주셔도 돼요..! (진심임)

그래프의 넓이 구하기

미적분학의 기본정리! 여러분은 이 정리에 대해 알고 계신가요? 합성함수의 미분법이나 치환적분, 부분적분 등등 다양한 미적분 공식들에 통달한 여러분들도 막상 미적분학의 기본정리라고 하면 ‘그런 정리가 있었나…..?’ 싶을겁니다.하지만 오늘도 힘차게 미적분 문제를 풀면서 열공하고 있는 여러분들은 모두들 이 미적분학의 기본 정리를 알고 계신 겁니다. 미적분학의 기본 정리를 한마디로 말하면, 여러분이 정적분을 풀이하는 과정 그 자체예요!

바로 이 한 장의 그림이 미적분학의 기본 정리를 잘 나타내고 있습니다. 너무나도 자연스럽게 알고 있는, 익숙한 내용이지요? 아닌가요 ㅎㅎ..? 공식처럼 매번 사용하기는 하는데 이게 왜 이렇게 됐던 것인지 기억이 안 난다고요? 그런 여러분들을 위해, 오늘은 이 미적분학의 기본 공식에 대해 설명을 드릴 계획입니다. 거창한 이름에 걸맞게 미적분학의 개념 성립에 있어서 가장 핵심적인 내용이라고 해도 과언이 아닌 중요한 내용이거든요! 그렇지만 어렵지는 않은 내용이니 잘 따라와주세요!

우선 미적분에서 항상 우리의 주된 관심사는 변화하고 있는 무언가를 관찰하는 것입니다. 물리와 미분을 공부하면서 ‘변화량’이라는 말을 많이 접해 보셨을 거예요! 변화하는 것을 수학적인 표현으로 나타내는 것이 미적분의 시발점입니다. 가장 대표적인 예시로, 정지 상태에서 출발하여 어느정도 조금 달리다가 다시 정지 상태가 된 자동차를 가정해봅시다. 이 자동차의 시간에 따른 속도 그래프가 간단하게 요렇게 된다고 가정하고, 그래프를 그려볼게요.

8초 동안 자동차가 움직였을 때, 우리는 이 자동차가 출발지점으로부터 어디까지 이동했는지를 알고 싶어요. 이때 자동차의 이동거리는 시간-속도 그래프에서 그래프 아래의 넓이로 구할 수 있습니다. (시간)x(속도) = (이동거리) 이렇게 말이죠. 하지만 저렇게 곡선으로 생긴 부분의 넓이는 어떻게 구해야 할지 알 수가 없으니, 우선 우리가 흔히 알고있는 직사각형의 넓이공식을 사용하여 근사치까지 구해 봅시다. 간격은 계산이 편하도록 1초마다로 정하고 각 직사각형들의 넓이를 구해보면 이렇게 됩니다.

하지만 대충 봐도 이렇게 구한 넓이는 뭔가 오차가 크게 느껴지죠?우리가 필요한건 곡선의 넓이인데, 직사각형의 넓이를 사용하여 구하려고 보니 어디는 삐져나오고, 어디는 부족하고 정신이 없어요. 즉 오차가 크다는 소리입니다. 오차를 줄이기 위해서는 보다 촘촘하게 직사각형을 세워줄 필요가 있습니다.

위 사진에 직사각형들의 가로 길이가 1인데, 길이를 0.5로, 길이를 0.1로, 길이를 0.00000001로 계속해서 줄여나간다면 직사각형이 촘촘하게 세워지게 될 것이고, 당연히 자연스레 오차가 줄어들게 됩니다. 길이를 거의 0에 근접하게 무한으로 줄여나갈 수 도 있겠죠. 이것이 바로 극한의 개념입니다.

극한의 개념을 사용하여 계속 오차를 줄여나가다보면, 결국 우리가 구하고 싶은 아까전에 그 곡선의 넓이와 한없이 가까워지게 됩니다. 이제 이러한 개념을 미적분 기호를 사용해서 뭔가 있어 보이게끔 적으면 다음과 같습니다. 직사각형의 너비가 되었던 시간 간격을 0에 가깝게 극한을 취하면 우리가 원하는 저 그래프 아래의 넓이에 수렴한다.

자 이제 여기에서! 이제 한걸음 더 나아가 우리는 임의의 시간 T에 대해 처음부터 시간 T까지의 이동거리를 알고 싶습니다. 임의의 시간 T에 따른 이동거리의 함수를 s(T)라 하면,이 s(T)를 구하는 과정이 곧, 미적분학의 기본 원리의 내용이랍니다! 너무 어렵나요..?

임의의 시간 T에 따른 이동거리의 함수 s(T)의 그래프를 위 사진과 같이 나타낼 때 시간에 대한 속도의 그래프 v(t)를 바탕으로 임의의 시간 T에 대해서 시간 T까지의 누적 이동거리를 나타내는 함수 s(T)를 구하는 방법을 통해 미적분의 기본 원리를 말씀드리겠습니다!

시간 구간을 잘게 나누어 넓이를 근사했던 지난 시간의 방법과 비슷한 내용이예요! 우선 작은 시간간격 dT 동안의 이동거리를 위 그림처럼 ds라고 정의합니다. 속도는 이동거리를 이동 시간으로 나누어 표현되므로 우리는 ds/dT = v(T) 라 할 수 있죠! 이 말은 곧, 무언가 모르는 함수를 미분했더니 v(t)가 됐다는 얘기예요! 우리는 결국 미분의 역과정을 통해 모르는 함수를 찾게 됩니다. 그렇지만 상수항은 미분하면 사라지게 되므로 우리는 미분의 역과정으로 구한 함수에, 구하고자 하는 이동거리의 시발점이었던 T=0을 대입하게 됩니다.

정리하면, v(t)를 적분하여 시간 T 까지의 이동거리를 구하는 문제는 위와 같이 풀이할 수 있겠죠. 여러분은 분명 이러한 과정 자체는 무척이나 익숙하실 겁니다. 하지만, 이러한 과정 자체가 미적분의 기본 원리예요! 미분 과정의 역으로서 적분이 정의되는 과정이기도 하고요. 여기에서는 간단히 앞으로만 이동하는 속도 그래프를 사용했지만, 그래프의 위치가 음/양을 넘나들어도 상관없다는 것도 이미 알고 계시겠죠?! 속도 그래프가 음수인 경우의 이동거리는 기존 이동 거리의 반대 방향으로 이동했다! 란 의미일 뿐입니다.

수학을 공부하면서 우리는 쌍을 이루는 연산을 계속해 배워왔어요. 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈부터 시작해서 지수와 로그도 빼놓을 수 없죠!미분과 적분도 마찬가지랍니다. 항상 뒤에 배운 역연산이 조금 더 어려웠을 거예요. 특히나 미적분에 이르러서는 적분하는 것 자체가 도전인 그런 경우가 많습니다. 따라서 우리가 편입 수학에서 마주하는 적분법들은 능숙하게 다룰 수 있어야 해요! 신기하게 생긴 함수를 마주하더라도 기존에 배웠던 어떠한 적분법을 사용하면 적분이 되는지를 파악하는 것이 중요하답니다. 오늘은 꽤 어렵게 느끼셨을 법한 미적분학의 기본 공식에 대한 설명을 해봤습니다..! 다음 글에서는 미적분이 겹쳐서 여러 번 등장하게 되는 고계도함수에 대해 설명 드릴게요! 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.